Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

Układy równań to zapis kilku równań z niewiadomymi. W szkołach zazwyczaj rozwiązujemy układy dwóch lub trzech równań z takimi samymi liczbami niewiadomych. Do rozwiązywania układów równań służą różne metody. Wyróżnia się metodę podstawiania, metodę graficzną, metodę wyznaczników oraz wspomnianą w temacie metodę przeciwnych współczynników. Każdy może wybierać dowolną metodę rozwiązywania układów równań w zależności od preferencji.

Metoda przeciwnych współczynników jest pomocna, jeżeli przy niewiadomej w dwóch równaniach występują przeciwne współczynniki. W metodzie przeciwnych współczynników głównym celem jest dodanie stronami równań w taki sposób, żeby całkowicie wyeliminować jedną ze zmiennych. Następnie po wyliczeniu wartości jednej niewiadomej, podstawiamy ją do dowolnego równania, żeby obliczyć wartość drugiej niewiadomej.

Przykład 1
Dany jest układ równań:
2x + y = 7
-2x + 2y = 2

Powyższy układ równań możemy rozwiązać dowolnie wybraną metodą. W tym przypadku jednak równania sprawiają, że wykorzystanie metody przeciwnych współczynników będzie proste.

2x oraz -2x to przeciwne współczynniki. Dlatego możemy od razu dodać te równania:
2x + y = 7
-2x + 2y = 2
________
3y = 9

Następnie wyliczamy wartość y.
y = 9 : 3
y = 3
W kolejnym kroku musimy wyliczyć drugą niewiadomą. Podstawiamy do dowolnie wybranego równania naszą wyliczoną wartość y.
Ja wybiorę równanie 2x + y =7
2x + 3 = 7
2x = 7 – 3
2x = 4
x = 2

Odpowiedź: Rozwiązanie układu równań: x = 2, y = 3.

Przykład 2
Dany jest układ równań:
x + 2y = 14
3x – y = 7

Przy y mamy przeciwne znaki. Musimy doprowadzić do tego, żeby w drugim równaniu było -2y. W tym celu mnożymy stronami przez 2 dolne równanie.

x + 2y = 14
6x – 2y = 14

Po doprowadzeniu układu równań do takiej postaci możemy je dodać stronami.

x + 2y = 14
6x – 2y = 14
_________
7x = 28
x =
x = 4

Następnie musimy wyliczyć wartość y. W tym celu podstawiamy naszą obliczoną wartość x do dowolnego równania.
Ja wybiorę równanie x + 2y = 14

x + 2y = 14
4 + 2y = 14
2y = 14 – 4
2y = 10
y = 5

Odpowiedź: Rozwiązanie układu równań: x = 4, y = 5.