Średnica koła

Średnica koła

Wstęp:
W tym opracowaniu przypomnisz sobie czym jest koło, promień oraz cięciwa. Dowiesz się co to jest średnica koła oraz czym się charakteryzuje. Następnie przeanalizujesz wiele przykładów, do których rozwiązania potrzebna jest wiedza związana ze średnicą koła.

Koło, promień, cięciwa (przypomnienie):

Koło to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od środka koła nie jest większa niż długość promienia tego koła.
Promień koła to odcinek poprowadzony od środka tego koła do jego „brzegu” (punktu znajdującego się na obwodzie tego koła). Oznaczany jest literą „r”.
Cięciwa to odcinek łączący 2 dowolne punkty leżące na obwodzie koła.
(Dla ułatwienia powyższe pojęcia zostały przedstawione na rysunku obok).

Średnica (definicja i zależności):

Średnica to odcinek łączący 2 najbardziej oddalone od siebie punkty leżące na obwodzie koła, inaczej jest to najdłuższa cięciwa koła. Oznaczana jest literą „d”. Średnica zawsze przechodzi przez środek koła oraz jest dwukrotnie dłuższa od promienia, czyli prawdziwa jest równość 2r = d.
Stosunek obwodu koła do jego średnicy jest stały i jednakowy dla każdego koła (niezależnie od jego wielkości). Stosunek ten jest liczbą niewymierną oznaczaną za pomącą greckiej litery pi (π), czyli prawdziwa jest równość (Stąd wzór na obwód koła: Obw = πd).
Utrwalmy poznane własności analizując poniższe przykłady:

Przykład 1:
Oblicz średnicę koła, jeśli jego promień wynosi:
a) 1 cm
b) 17 cm
c) 8,5 cm
d) 6 cm

a) Mamy podany promień, który wynosi 1 cm i chcemy obliczyć średnicę. Korzystamy z tego, że w dowolnym kole średnica jest dwukrotnie dłuższa od promienia (2r = d), czyli:
d = 2r = 2 1 cm = 2 cm.
A zatem nasza średnica ma długość 2 cm.

b) Mamy podany promień, który wynosi 17 cm. Chcąc obliczyć średnicę korzystamy z tego, że jest ona dwukrotnie dłuższa od promienia (2r = d), czyli:
d = 2r = 2 17 cm = 34 cm.
A zatem nasza średnica ma długość 34 cm.

c) Nasz promień ma długość równą 8,5 cm. Obliczamy średnicę korzystając z tego, że jest ona dwukrotnie dłuższa od promienia:
d = 2r = 2 8,5 cm = 17 cm.
A zatem nasza średnica ma długość 17 cm.

d) Promień ma długość równą 6 cm. Obliczamy średnicę korzystając z tego, że (2r = d):
d = 2r = 2 6 cm = 12 cm.
A zatem nasza średnica ma długość 12 cm.

Przykład 2:
Oblicz średnicę koła, jeśli jego obwód wynosi:
a) 2,5π cm
b) 3 π cm

a) Mamy podany obwód koła, który wynosi 2,5π cm i chcemy obliczyć średnicę tego koła. Korzystamy z tego, że w dowolnym kole stosunek obwodu koła do jego średnicy jest równy π, czyli . Po przekształceniu tego wzoru otrzymujemy i na tej podstawie liczymy średnicę:
d = = = = 2,5 cm.
A zatem nasza średnica ma długość 2,5 cm.

b) Mamy podany obwód koła, który wynosi 3 π cm i chcemy obliczyć średnicę tego koła. Korzystamy z wyprowadzonego (w podpunkcie a) wzoru, tj. i na tej podstawie liczymy średnicę:
d = = = = 3 cm.
A zatem nasza średnica ma długość 3 cm.

Przykład 3:
W pewnym kole średnica jest dłuższa od promienia o 5 cm. Oblicz długość średnicy tego koła.

Wiemy, że w podanym kole średnica jest o 5 cm dłuższa od promienia, czyli: r + 5 cm = d. Wiemy także, że w każdym kole średnica jest dwa razy dłuższa od promienia, czyli: 2r = d. Skoro d = r + 5 cm i równocześnie d = 2r to także (po „połączeniu” obu tych równań):
r + 5 cm = 2r. Powstało nam proste równanie z jedną niewiadomą. Przystępujemy do jego rozwiązywania, aby obliczyć długość promienia:
r + 5 cm = 2r (odejmujemy obustronnie „r”)
5 cm = 2r – r
5 cm = r
r = 5 cm
Mając policzoną długość promienia możemy się zabrać za obliczenie średnicy koła (2r = d):
d = 2r = 2 5 cm = 10 cm.
A zatem średnica naszego koła ma długość 10 cm.

Przykład 4:
Dane jest koło o polu 36π cm2. Oblicz średnicę tego koła wiedząc, że wzór na pole koła ma postać: P = πr2.

Dane mamy pole koła, które wynosi 36π cm2. Znamy także wzór na pole koła: P = πr2 (iloczyn kwadratu promienia i liczby „pi”). Przekształcając wzór na pole koła (dzieląc obustronnie przez π, a następnie pierwiastkując obie strony równania) otrzymamy wzór na promień koła: = r (Zał. P > 0 (ponieważ pole nie może być ujemne) oraz r > 0 (gdyż „r” wyraża długość promienia, a długość również nie może być ujemna)).
Mając do dyspozycji wyprowadzony wzór możemy obliczyć promień koła:
r = = = = = 6 cm.
Wiedząc ile wynosi promień możemy teraz bez problemu obliczyć średnicę (2r = d):
d = 2r = 2 6 cm = 12 cm.
A zatem średnica naszego koła ma długość 12 cm.

Przykład 5:
Pewien trójkąt prostokątny wpisano w koło. Przyprostokątne tego trójkąta mają długości 6 cm i 8 cm. Oblicz średnicę koła wiedząc, że zawiera się ona całkowicie w przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego.

Aby lepiej zobrazować sobie sytuację opisaną powyżej wykonujemy rysunek pomocniczy:

Gdzie:
Czerwony odcinek to przeciwprostokątna trójkąta ABC (średnica koła „d”),
Niebieski i zielony odcinek przyprostokątne trójkąta prostokątnego.

Znając długości przyprostokątnych trójkąta możemy policzyć długość jego przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
(6 cm)2 + (8 cm)2 = d2 (wykonujemy potęgowanie po lewej stronie równania)
36 cm2 + 64 cm2 = d2 (dodajemy wartości po lewej stronie)
100 cm2 = d2 (Zał. d > 0, bo „d” wyraża długość średnicy, a długość jest zawsze dodatnia)
d = 10 cm
A zatem d = 10 cm i jest to nie tylko długość przeciwprostokątnej, ale także średnicy koła.
Odp: Średnica koła ma długość 10 cm.

Podsumowanie:
W opracowaniu tym przypomniałeś sobie czym jest koło, promień oraz cięciwa. Dowiedziałeś się jaka jest definicja średnicy koła, a także poznałeś ważne własności związane ze średnicą. Sprawdziłeś również zdobytą wiedzę na wielu przykładach.