Wzór na pole koła

Witam was już na kolejnej lekcji geometrii. Dzisiaj zajmiemy się polem koła. Chciałabym żebyśmy sobie jasno wytłumaczyli, co to jest pole koła, wzór, jednostki i… dalej będzie już ciekawiej – rozwiązywanie zadań. Gotowi? To zaczynamy.

Pole koła
Chcę, żebyś przede wszystkim nie mylił koła z okręgiem. Koła to zamalowany okrąg, a okrąg to jak gdyby sama ramka. Pole koła się przydaje, np. do tego żeby policzyć, ile miejsca zajmie okrągły dywan, albo stolik. Dlatego ważne jest żeby to rozumieć. Jeśli wiesz, czym rożni się obwód od pola, możesz przejść dalej. Obwód, to tyle ile potrzeba ci wstążki na „objęcie” całego dywanu wstążką, a pole to tyle ile potrzebujesz materiału na zakrycie całego okrągłego stołu. Wiem, że nie są to definicje matematyczne, ale takie najprościej przemawiają do uczniów. Teraz czas na wzór na pole koła.

Wzór na pole koła
dla ułatwienia najpierw wkleję zdjęcie koła z podpisanymi odcinkami, a później wzór

Jest to dosyć dokładny rysunek, jednak uwierzcie później i tak to trzeba wiedzieć, więc nie ma to teraz znaczenia. Dla nas najważniejszy jest odcinek „r”, czyli promień (pół średnicy).

P = πr2

P – pole koła
π – liczba pi (umownie 3,14)
r – promień koła

Przy okazji tematu i pojawienia się liczby „pi”, chamiałam powiedzieć o niej kilka słów

Liczba pi, to liczba niewymierna, to znaczy się jest nieskończona i ma za przecinkiem bardzo dużo cyfr. My jednak przyjmujemy taką wartość π 3,14, bo większa dokładność nie jest potrzebna. Warto jeszcze powiedzieć dlaczego liczba pi, jest nieskończona i dlaczego ktoś nie powiedział, że liczba pi będzie liczbą wymierną? Bo liczba pi to stosunek odwodu koła do jego średnicy. Czyli zapisując to matematycznie π =.

Jednostki na pole koła

nie chcę poświęcać na ten temat dużo czasu, bo jednostki pola na każdą figurę są takie same. Przykładowe i najczęściej używane jednostki kwadratowe, bo w takich wyrażamy pole to: cm2, m2, ha, a, km2, dm2 i jeszcze kilka jednak te warto pamiętać, ponieważ nie jest to temat o tym nie będę pokazywać sposoby zamiany, jednak pozwolę sobie króciutko przypomnieć, taki uniwersalny. A inne sposoby może kiedyś opiszę w innym wypracowaniu temu poświęconym.

Z większej na mniejszą, np. z m2 na cm2
przypomnieć sobie ile cm to jeden metr (100 cm = 1 m)
liczbę centymetrów podnieść do kwadratu (do potęgi drugiej) (100cm)2 = 100 cm x 100cm = 10000 cm2
1 m2 to 10 000 cm2
Teraz powiemy sobie, jak zamienić z mniejszej na większą, np. cm2 na m2
przypomnieć sobie jaką częścią metra jest centymetr 1 cm = 0,01 m
liczbę metrów podnieść do kwadratu (0,01m)2 = 0,01 m x 0,01 m = 0,0001 m2
1 cm2 to 0,0001 m2

I to jest taki mój sposób, jeśli chcecie poznać inne niestety musicie poszukać sobie w internecie. W takich godnych polecenia, polecam wam taki graf. Z tego się bardzo dobrze uczy. Teraz zapraszam do rozwiązywania zadań matematycznych z tego tematu, zaczniemy od prościutkich, a zakończymy na zaawansowanych. We wszystkich zapiszę komentarze do tego co zapisałem kolorem niebieskim. To co na czarno powinno się znaleźć na kartce z obliczeniami, niebieskie możesz sobie zapamiętać i działać podanymi schematami. Zapraszam do wspólnych ćwiczeń.

Zadania
Zadanie 1.
Oblicz pole powierzchni koła o promieniu 6 cm.

To jest najprostsze zadanie, jaki może być jednak prześledź je uważnie, bo bez tej wiedzy innych nie rozwiążesz!

Najpierw zapiszmy wzór na pole koła, sprawdźmy czy w poleceniu jest podany promień, a nie średnica. U nas jest promień, więc możemy zapisać wzór.
P = πr²
Podstawimy dane do wzoru

P = 3,14 (6 cm)2
Według kolejności działań powinniśmy zacząć od potęgowania, pamiętaj, że w potęgowaniu mnożymy 6 razy 6, a nie 6 razy 2!

P = 3, 14 36 cm
dalej mnożymy, a wynik zapisujemy w jednostkach kwadratowych

P = 113,04 cm2
i to jest poprawnie obliczone zadanie, jeszcze rozwiążemy jedno takie prościutkie w skali trudności 1/10, a później policzymy trudniejsze.

Zadanie 2.

Oblicz pole koła o promieniu 3 cm.

Oczywiście zaczynamy od sprawdzenia, jakie dane mamy zapisane w poleceniu i czy są one zgodne z tym co jest we wzorze. Jeśli nie to trzeba zamienić, ale spokojnie w tym poleceniu jest wszystko ładnie podane kawa na ławę, a to jak sobie poradzić w innej sytuacji opowiem w kolejnych, zadaniach, bo teraz przechodzimy na poziom trudniejszy, bo na razie jesteśmy w 1/10.
Teraz zapisujemy wzór

P = πr²
Podstawiamy dane do wzoru.

P = 3,14 (3 cm)2
potęgujemy

P = 3,14 9 cm
wykonujemy mnożenie, wynik zapisujemy w jednostce pola powierzchni

P = 28,26 cm2
I już mamy kolejne gotowe zadanie, teraz idziemy o krok dalej i kolejne dwa proste zadanka.

Zadanie 3.

Oblicz pole koła o średnicy 22 cm.

Ponieważ w poleceniu jest podana średnica, a w wzorze masz miejsce tylko na promień, trzeba coś zrobić. Wiemy, że promień to pół średnicy, więc średnicę dzielić na pół.

r = 22 cm : 2
r = 11 cm

teraz zapisujemy wzór i postawiamy dane

P = πr²
P = 3,14 (11 cm)2 wykonaj potęgowanie
P = 3,14 121 cm
mnożymy
P = 379,94 cm2
I udało się zrobić. Możemy zrobić reszce jedno takie zadanie, a później przejść do trudnych.

Zadanie 4.
Oblicz pole koła o średnicy 1 cm. Wynik podaj w mm2.

Specjalnie utrudniłam to zadanie zamianą jednostek, ponieważ powtarzanie 4. raz tego samego algorytmu może się znudzić.

Oczywiście zaczynamy od zamiany średnicy na promień. Przy okazji możemy zamienić cm na mm, żeby później nie trzeba by było kombinować. Przypomnę, że pół cm to 5 mm.

r = 1cm : 2
r = 5 mm

jednostki zamieniłam od razu jednak nie jest to obowiązkowe. Zapisz wzór i podstawmy do wzoru.

P = πr²
P = 3,14 (5 mm)2
potęgujemy
P = 3,14 25 mm
mnożymy

P = 78,5 mm2.

Zadanie w stopniu łatwości 3/10 się skończyły teraz policzymy sobie zadanie, gdzie trzeba więcej rzeczy zrobić. Ruszamy, to zadanie, które za chwile rozwiążemy oceniam trudność na 6/10.

Zadanie 5.
Oblicz promień koła o polu 36πcm2.

Zapiszmy wzór, a dane do niego.

P = π·r²
36πcm2= 3,14 r2

dzielimy obie strony równania przez pi, wychodzi nam tyle:

36 cm2 = r2

r = = 6 cm

Czyli to jest nasz wynik zadnia, zapisujemy odpowiedź i przejdziemy do kolejnego, ostatniego już zadania, które przygotowałam, mam nadzieję, że nie będziecie mieli już nim żadnego problemu. Zaczynajmy

Zadanie 6.
Oblicz średnicę koła o polu 4π, a następnie oblicz obwód tego koła.
Wskazówka: Wzór na obwód koła L = 2πr

Najpierw policzymy średnicę, więc zapiszemy wzór na pole i wstawimy dane.
P = π·r²
4 π = π·r² obie strony tego równania dzielimy przez pi
4 = r2
żeby policzyć r trzeba policzyć pierwiastek z pola , czyli z 4

pamiętaj średnica to dwa promienie

pierwszą część zadania mamy policzoną, więc teraz pozostaje nam już tylko policzyć, obwód. Znów zaczynamy od wzoru i postawienia danych.

L = 2πr

Obliczamy
L = 12,56
można też nie zamieniać liczby pi na wartość liczbową i zapisać tak: π

Na tym zadaniu kończymy to opracowanie, zapraszam was do rozwiązania innych, żeby poćwiczyć te umiejętności może uda wam się rozwiązać też trudniejsze.

Pamiętajcie słowa wypowiedziane przez M. C. Skłodowską ” Wszystko jest trudne dopóki nie stanie się proste”. Nie poddawajcie się i ćwiczcie, a kiedyś na pewno będzie to dla was proste.

Dziękuję za zostanie ze mną do końca.