Co to są liczby całkowite

Wyróżnia się liczby: naturalne (czyli wszystkie liczby większe od zera, inaczej dodatnie: ) całkowite (wszystkie liczby naturalne oraz do nich przeciwstawne, czyli dodatnie i ujemne wraz z zerem: ), wymierne (czyli wszystkie liczby, które można zapisać jako ułamek zwykły, czyli: ), niewymierne (czyli te, które nie są liczbami wymiernymi, czyli te, które nie da się zapisać jako ułamek zwykły: ) oraz rzeczywiste (czyli wszystkie liczby, które są wymiernymi oraz niewymiernymi.

Natomiast skupmy się na liczbach całkowitych. Tak jak już wspomniałam, są to liczby naturalne, przeciwne do nich oraz zero. Czyli są to liczby: . Są to więc liczby dodatnie, ujemne oraz zero. Zbiór tych liczb oznaczany jest jako . Oznaczenie te pochodzi z języka niemieckiego (Zahlen, czyli liczby), przez co dopuszczalne używanie jest oznaczenia które pochodzi od języka polskiego (całkowite).

Ze względu na istnienie funkcji wzajemnie jednoznacznej , która przypisuje wszystkim liczbom całkowitym tylko i wyłącznie jedną liczbę naturalną, zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych . Przykładem może być funkcja:

Zbiór liczb całkowitych to inaczej zbiór klas abstrakcji zbioru relacji równoważności Intuicyjnie reprezentuje różnicę Jeśli jest klasą abstrakcji o reprezentancie , to dodawanie i mnożenie w zbiorze definiuje się jako strukturę:


Jest ona pierścieniem całkowitym, czyli pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera. Zero tego pierścienia to jedynka to , a element przeciwny do jest element Tutaj podzbiór elementów w postaci jest izomorficzny wraz z
dlatego, że oraz jest elementem przeciwnym do . Ta zależność potwierdza prawdziwość wyżej podanej intuicji.
Dodatkowo wiadomo, że:
Liczby dla których