Obniżki i podwyżki

Obniżki i podwyżki to temat, który nie wymaga omówienia teorii – w końcu na co dzień często słyszymy, że:

a) Ktoś, kto zarabiał wcześniej 4200zł miesięcznie, dostał 10% podwyżki. Ile teraz zarabia?

4200zł to była cała pensja, czyli 100% pensji tej osoby. Jeżeli dostała 10% podwyżki, to znaczy, że teraz zarabia 100%+10%=110% swojej poprzedniej pensji. 110% z 4200 złotych obliczymy jako 110% * 4200zł = 1,1 * 4200zł = 4620zł.
Stąd wiemy, że ta osoba teraz zarabia 4620 zł

b) Cena bluzy, która kosztowała wcześniej 140 zł została obniżona o 10%. Ile teraz kosztuje ta bluza?

Podobnie, jak wcześniej: 140zł to cała (tzn. przed obniżką) cena bluzy, czyli jej 100%. Jeżeli cena została obniżona o 10%, to aktualnie jest ona warta 90% swojej poprzedniej ceny (bo 90% = 100% – 10%). 90% ze 140 złotych obliczamy jako 90% * 140zł = 0,9 * 140zł = 126 zł.
W takim razie, aktualna cena bluzy to 126 zł.

Wiedza o podwyżkach i obniżkach poza tym, że jest wymagana na maturze i egzaminie ósmoklasisty, pomaga nam nie dać się oszukać na przykład podczas zakupów. Rozważmy następujące stwierdzenie:

„W poniedziałek tygodnia promocji, cena laptopa, który kosztował wcześniej 2300zł, została obniżona o 50%. Nie wszystkie egzemplarze się sprzedały, więc w piątek cena znowu została obniżona o 50% – czyli teraz jest za darmo!”

Trochę podejrzane, nie? Obniżki bywają szalone, ale komu opłacałoby się oddawać laptopy za darmo?
Zastanówmy się. Na początku laptop kosztował 2300zł. Następnie jego cena została obniżona o 50% (tzn. o połowę), więc w poniedziałek kosztował on 50% * 2300zł = 0,5 * 2300zł = 1150zł. I tutaj dochodzimy do najważniejszego punktu:
w piątek cena została obniżona o 50% względem ceny, która była w poniedziałek. To znaczy, że po piątkowej obniżce, laptop będzie kosztował 0,5 * 1150zł = 575 zł.

Wniosek: Każdą kolejną obniżkę lub podwyżkę liczymy względem poprzedniej, a nie początkowej ceny

Zadanie 1:
Pewna sukienka kosztowała początkowo 300 złotych. Tuż przed rozpoczęciem tygodnia promocji jej cena została podwyższona o 20%. Następnie, na początku tygodnia promocji, została obniżona o 20%.
a) Ile kosztowała ta sukienka w tygodniu promocji?
b) O ile procent, względem początkowej ceny, została obniżona cena sukienki?

Rozwiązania:
a) Najpierw cena została podwyższona o 20%, czyli po podwyżce sukienka kosztowała 120% * 300zł = 360zł.
Następnie, ta cena została obniżona o 20%, czyli wynosiła 80% * 360zł = 288 zł.
Odpowiedź: W tygodniu promocji ta sukienka kosztowała 288 zł
b) Jako cenę początkową rozumiemy 300 zł (cenę przed jakąkolwiek podwyżką lub obniżką).
W tygodniu promocji sukienka kosztowała 288zł, czyli była o 12 złotych tańsza od ceny początkowej.
Żeby odpowiedzieć na pytanie w tym podpunkcie, musimy stwierdzić, jaki procent liczby 300 stanowi 12.
Wykonujemy dzielenie
Odpowiedź: Względem ceny początkowej, cena sukienki została obniżona o 4%

Zadanie 2 (z matury podstawowej):
Na początku miesiąca komputer kosztował 3500zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę komputera obniżono o 10%, a w trzeciej dekadzie cena tego komputera została obniżona jeszcze raz obniżona, tym razem o 15%. Innych zmian ceny tego komputera w tym miesiącu nie już było. Ile była równa cena tego komputera pod koniec miesiąca?
Rozwiązanie:
Cena po pierwszej obniżce: 90% * 3500 zł = 3150 zł
Cena po drugiej obniżce: 85% * 3150 zł = 2677,5 zł
Odpowiedź: Pod koniec miesiąca ten komputer kosztował 2677,5 zł

Zadanie 3:
Cenę koszulki najpierw podniesiono o 25%, następnie obniżono o % tak, że powróciła ona do ceny początkowej. Oblicz wartość .
Rozwiązanie:
Zadanie jest o tyle utrudnione, że nie znamy ceny koszulki. To znaczy, że będziemy musieli operować na niewiadomych, a nie liczbach.
Oznaczmy: – początkowa cena koszulki
Po podwyżce cena koszulki wynosiła , co możemy też zapisać jako .
Jeżeli obniżamy cenę o , to będzie ona stanowiła początkowej ceny. Możemy to też zapisać jako .
Musimy znaleźć taką liczbę , że jeżeli obniżymy cenę o to uzyskamy z powrotem początkową cenę, czyli .
Zapiszemy to jako równanie:
Możemy podzielić obustronnie przez otrzymując:
Dalej rozwiązujemy:
mnożymy obustronnie razy 100
wymnażamy nawias po lewej stronie razy 125
przenosimy na prawą stronę, a na lewą (pamiętamy o zmianie znaku!)

mnożymy obustronnie razy 100
otrzymaliśmy wynik, co kończy zadanie