Wzory całki

Całki zazwyczaj poznajemy na studiach. Kierunki, na których liczymy całki to nie tylko kierunki matematyczne, ale także ekonomiczne czy informatyczne. Całkowanie jest to działanie odwrotne do różniczkowania, dlatego te tematy są ze sobą związane. Całkę oznaczamy za pomocą symbolu ∫.
W poniższym opracowaniu przedstawię najczęściej wykorzystywane wzory do obliczania całek oraz pokażę zastosowanie ich na przykładowych liczbach.

Wzór 1
∫ dx = x + C
Jest to wzór, który pozwala obliczyć całkę ze stałej liczby.
Zapis dx oznacza, że całkujemy funkcję f(x) po zmiennej x.
C to dowolna stała, którą zawsze dodajemy do wyniku.

Przykład:
∫ 10 dx = 10x + C
∫ 5 dx = 5x + C

Wzór 2

∫ = gdzie n nie może być równe -1, ponieważ w mianowniku uzyskamy 0.

Przykład:

∫

∫

Wzór 3

∫

Ln to logarytm naturalny, jest to logarytm o podstawie e, e to liczba Eulera, która w przybliżeniu wynosi 2,179.

Wzór 4

∫ sinx dx = -cosx + C

Wzór 5

∫ cosx dx = sinx + C

Wzór 6

∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

Przykład:
∫ = ∫ 2x2 dx + ∫ dx =
Za pomocą tego wzoru możemy obliczyć całki, które składają się z sum różnych funkcji.

Wzór 7

∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx

Analogicznie do wzoru szóstego, za pomocą tego wzoru możemy obliczyć całki, które składają się z różnic różnych funkcji.
Przykład:
∫

Wzór 8

∫ a f(x) dx = a ∫ f(x) dx
W przypadku, jeżeli przed funkcją jest stała liczba, to możemy wyłączyć ją przez znak całkowania.
Przykład:
∫ 10 ∫

Dodatkowo oprócz znajomości wzorów, do obliczania bardziej skomplikowanych całek potrzebne są różne metody ich obliczania. Najbardziej popularnymi metodami są: całkowanie przez podstawienie oraz całkowanie przez części. Za pomocą tych metod można obliczyć przykładowe całki złożone: ∫ dx czy ∫ ln|3x| dx. Takich całek nie da się obliczyć za pomocą zwykłych wzorów podanych w tym wypracowaniu. Polecam zapoznać się również z zagadnieniami całkowania przez podstawienie oraz przez części.