Dziedzina

Dziedzina funkcji to zbiór zawierający wszystkie argumenty funkcji; to zbiór X.
W zadaniach na wyznaczanie dziedziny funkcji można się spotkać z tym, że nie jest podana dziedzina, lecz tylko wzór funkcji. Wtedy przyjmuje się, że dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których jest możliwość obliczenia tej funkcji.

Przykład I
Wyznacz dziedzinę podanych funkcji.

– mamy podany wzór funkcji.
Wiemy, że w miejsce x nie możemy wstawić 0, ponieważ dzielenie przez 0 jest niewykonalne. A więc:
Odp.: (dziedzina naszej funkcji to zbiór liczb rzeczywistych R bez jednego elementu jakim jest O)

Nasze założenie to x>0, ponieważ nie dzieli się przez zero, gdybyśmy wstawili w miejsce x zero to wynik jest wiadomy, natomiast pierwiastek drugiego stopnia istnieje dla liczb nieujemnych, więc x musi być większe od 0.

Odp.: .

Nasze założenie to 2x+6 0. Nie mogą to być liczby ujemne, ponieważ pierwiastek drugiego stopnia istnieje dla liczb nieujemnych.

Odp.: Df = [-3; ).

Przykład II
Można się spotkać z zadaniami, gdzie podany będzie wzór funkcji oraz zbiór wartości funkcji i na ich podstawie mamy wyznaczyć dziedzinę funkcji.

W tym przypadku należy rozwiązać równania, gdzie po lewej stronie dajemy wzór funkcji, a prawa strona to poszczególne wartości funkcji. Równań będzie tyle, ile elementów zawiera zbiór wartości funkcji –
(ilość elementów zbioru wartości = ilość argumentów w dziedzinie)

6x-2=8
6x=8+2
6x=10

6x-2=10
6x=10+2
6x=12
x=2

6x-2=12
6x=12+2
6x=14

Odp.: – dziedzina funkcji, którą wyznaczyliśmy.

Przykład III
Kolejny podobny do poprzedniego przykład, gdzie mamy wyznaczyć dziedzinę funkcji na podstawie podanego wzoru i zbioru wartości funkcji.

3x+2=-2
3x=-2-2
3x=-4

3x+2=-1
3x=-1-2
3x=-3
x=-1

3x+2=0
3x=0-2
3x=-2

Odp.: – dziedzina funkcji, którą wyznaczyliśmy.

Przykład IV
Kolejny podobny do poprzedniego przykład, gdzie mamy wyznaczyć dziedzinę funkcji na podstawie podanego wzoru i zbioru wartości.

Odp.: .

Funkcję można także przedstawić na wykresie. Dziedzinę funkcji odczytujemy na osi x, jako współrzędne najdalej oddalonych w lewo i w prawo dwóch punktów osi x.

Przykład I
Przyjrzyj się wykresowi poniżej. Odczytaj i podaj dziedzinę funkcji.

Najdalej oddalony punkt w lewo to punkt -4, który nie należy jednak do tego zbioru, ponieważ na wykresie widnieje kółeczko niezamalowane. Najdalej oddalony punkt w prawo to punkt 4, który należy do tego zbioru.

Odp.: Df = (-4; 4].

Przykład II
Przyjrzyj się wykresowi, odczytaj i podaj dziedzinę funkcji.

Najdalej oddalony punktem w lewo jest punkt -1, który nie należy do zbioru (kółko niezamalowane), a najdalej oddalonym w prawo jest punkt 4, należący do tego zbioru:

Odp.: Df = (-1; 4].

Przykład III
Przyjrzyj się wykresowi, odczytaj i podaj dziedzinę funkcji.

W tym przypadku dziedzina będzie sumą trzech zbiorów. Pierwszy rozpoczyna się w punkcie -5, należącym do zbioru,
a kończy w punkcie -2, nienależącym do zbioru. Drugi rozpoczyna się w punkcie 0, należącym do zbioru, a kończy w punkcie 7, nienależącym do zbioru. Trzeci rozpoczyna się tam, gdzie się skończył drugi, czyli w punkcie 7, nienależącym do zbioru, i nie kończy się, ponieważ widzimy na wykresie, że półprosta rozpoczynająca się w tym punkcie 7 nie ma końca i biegnie do nieskończoności. A więc:

Odp.: Df = [-5; 2) [0; 7) (7; ).

Przykład IV
Przyjrzyj się wykresowi, odczytaj i podaj dziedzinę funkcji.

Tutaj jednostkę mamy obraną co dwie kratki. Najdalej oddalonym punktem w lewo jest punkt -3,5, należący do tego zbioru, a w prawo to punkt 4,5, nienależący do zbioru.

Odp.: Df =[-3,5; 4,5).

Przykład V
Przyjrzyj się wykresowi, odczytaj i podaj dziedzinę funkcji.

Tutaj również jednostka jest obrana co dwie kratki. Najdalej oddalonym punktem w lewo jest punkt -2,5, należący do tego zbioru, a w prawo punkt 2, nienależący do zbioru.

Odp.: Df =[-2,5; 2).