Odejmowanie ułamków

Wyróżniamy dwa rodzaje ułamków. Mamy ułamki zwykłe i dziesiętne. Zwykłe składają się z licznika, mianownika oraz z kreski ułamkowej, która symbolizuje dzielenie.

Ułamki dziesiętne składają się po prostu z cyfr odpowiednio ułożonych. Część całkowita jest oddzielona przecinkiem od części ułamkowej.

Zajmijmy się dziś odejmowaniem tych właśnie ułamków.

Nauczmy się tej operacji na przykładach.

Ćwiczenie 1
Oblicz ile to:

Rozwiązanie zadania:

Aby odjąć do siebie ułamki zwykłe postępujemy według pewnego schematu.
Najpierw jeśli przed ułamkiem jest „wyciągnięta” część całkowita np. 4, to zmieniamy tę postać do postaci ułamka niewłaściwego ( w naszym przykładzie byłoby to: ).
Następnie sprawdzamy, czy mianowniki odejmowanych ułamków są takie same. Jeśli tak przechodzimy do kroku numer 5. Jeśli nie, postępujemy dalej według schematu.
Kolejno szukamy wspólnego mianownika dla tych dwóch ułamków. Czym jest wspólny dzielnik? Niczym innym jak liczbą, która jest najmniejszą wielokrotnością obu cyfr. W praktyce, jeśli są to łatwiejsze liczby to po prostu na pierwszy rzut oka widać, o jaką wartość należy rozszerzyć i licznik i mianownik, aby mianowniki obu ułamków były takie same. Jeśli jednak są to trudniejsze liczby w mianownikach, to najlepiej zastosować poniższy wzór: .Takim oto sposobem otrzymujemy nowy mianownik. Jeśli mamy więcej ułamków to mnożymy po prostu wszystkie mianowniki przez siebie.
Następnie sprawdzamy, ile razy zwiększył się nowy mianownik od starego mianownika. Tyle razy, ile ten mianownik się zwiększył, mnożymy licznik. Tak samo postępujemy z drugim ułamkiem.
Teraz gdy już mamy wspólne mianowniki możemy przejść do odejmowania. Od licznika nr 1 odejmujemy licznik nr 2. Mianowniki pozostawiamy bez mian. Po prostu je przepisujemy. Jeśli jest taka możliwość, to skracamy wynik do postaci ułamka nieskracalnego, a więc do postaci takiego ułamka, w którym licznik i mianownik nie możemy podzielić przez tę samą wartość.

W takim razie rozwiążmy nasze zadanie.

Jak widzisz, wspólnym mianownikiem dla 2 i 3 jest 6. Gdyż gdy rozpiszemy wielokrotności dwójki: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,…,} oraz gdy rozpiszemy wielokrotności trójki: {3, 6, 9, 12, 15, 18, … } to możemy wyłapać powtarzające się wielokrotności. Każda liczba, która powtarza się w tych dwóch zbiorach wielokrotności może być wspólnym mianownikiem dla ułamków o tych mianownikach, tak więc mianownikami mogły być liczby: 6, 12, 18 itd.

Ćwiczenie 2
Wykonaj poniższe działania:

1 )

Aby znaleźć wspólny dzielnik znów możemy rozpisać sobie wielokrotności obu liczb stanowiących mianowniki
wielokrotność 5: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, …, … }
wielokrotność 10: { 10, 20, 30, 40, 50, 60, …, …}
Jak więc widzisz, wspólnym mianownikiem mogła być jeszcze 20, 30, 40 itd. Jednak wybiera się zawsze możliwie najmniejszy mianownik, aby obliczenia były możliwie najłatwiejsze.

2)

Aby rozwiązać ten przykład postępujemy tak jak powyżej. Zaczynamy od sprowadzenia obu ułamków do wspólnego mianownika. Aby znaleźć wspólny mianownik również możemy rozpisać sobie wielokrotności trójki oraz siódemki.

Wielokrotność 3: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …, …}

Wielokrotność 7: {7, 14, 21, 28, 35, 42, …, …}

Jak widzisz, w tym przypadku aby obliczyć wspólny mianownik również użyliśmy wzoru, który mówi nam, że aby znaleźć wspólny mianownik, należy pomnożyć przez siebie mianowniki ułamków, które są w zadaniu. Pełne rozwiązanie tego zadania wygląda o tak:

3 )

Ten przykład jest już trudniejszy, gdyż jak widzisz mamy trzy czynniki. Dwa odejmujemy, a trzeci dodajemy. W związku z tym, że kolejność dodawania i odejmowania jest na „tym samym poziomie”, nie musimy się martwić o kolejność działań. Obliczamy w tej kolejności jaką mamy podaną.
Tym razem mamy tutaj 3 różne mianowniki. Aby znaleźć wspólny mianownik również możemy pomnożyć przez siebie wszystkie mianowniki. Tutaj więc widzisz, że wzór który podałam powyżej jest uzależniony od tego, ile mamy ułamków. Możemy także rozpisać wielokrotności, szukać tym razem powtarzającą się wartość w trzech zbiorach.

Wielokrotność 3: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …, …}

wielokrotności 2: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,…}

Wielokrotność 4: {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …, …}
Jak widzisz, powtarzająca się wartość w tych trzech zbiorach wielokrotności to 12. W takim razie nowy wspólny mianownik to 12. Przechodzimy do obliczania.

Odejmowanie ułamków dziesiętnych jest bardzo proste. Najlepiej zastosować odejmowanie w pamięci. Części całkowite (te na lewo od przecinka) odejmujemy osobno, a części ułamkowe również odejmujemy osobno ( te na prawo od przecinka).

Oczywiście, możemy takie obliczenia wykonywać również pisemnie.

15,3 – 7,211=8,089

Jeśli odejmujemy pisemnie to trzeba zwrócić uwagę na to, że popisujemy przecinek pod przecinkiem. Gdy powstają tam „luki” to w tych miejscach wpisujemy zera.

Oczywiście, po każdym odejmowaniu warto wykonać sprawdzenie, aby sprawdzić, czy się gdzieś nie pomyliliśmy. Jeśli wykonywaliśmy odejmowanie, to naszym sprawdzeniem będzie dodanie wyniku do odejmowanego ułamka.

Czas na kolejny przykład.

Jak widzisz, zaczynając odejmowanie od prawej, chcesz odjąć 9 od 5. Tego nie możesz wykonać (zawsze dodatnie cyfry zapisujemy na dole pod kreską). W takim razie pożyczasz z kolejnego rzędu (w tym przypadku rzędu dziesiątek) jedną „dziesiątkę” w tym wypadku i dodajesz ją do tej cyfry którą masz. My od siódemki bierzemy 1, a więc w praktyce dziesiątkę, którą dodajemy do piątki z rzędu jedności.

Przeanalizuj powyższe obliczenia w celu nauczenia się sprawnego odejmowania. Polecam wykonać każde z zadań przerobionych przeze mnie, własnoręcznie. To powinno Ci pomóc rozwiązywać inne zadania z tych zagadnień.