Mnożenie pierwiastków

Zacznijmy od tego czym jest mnożenie wspomnianych pierwiastków:
Mnożenie pierwiastków jest to dosłownie mnożenie pierwiastków, czyli na mnożysz nie liczby całkowite, tylko mnożyć same pierwiastki (mogą występować z liczbą przed nimi). Ogólnie to mnożymy liczbę przed pierwiastkiem z liczbą przed drugim pierwiastkiem (o ile je mnożymy) oraz pierwiastek z drugim pierwiastek. Jeśli miałbym przedstawić przykładowe mnożenie pierwiastków (pamiętaj) to bym je przedstawił następująco (liczby przed działaniami oznaczają krok, który jest odnośnikiem do późniejszej instrukcji):








Omówienie kroków:
na początku zapisujemy mnożenie
Mnożymy liczby przedpierwiastkowe (będę tak nazywał liczby przed pierwiastkiem), a liczby podpierwiastkowe (będę tak nazywał liczby pod pierwiastkiem) zostawiamy
rozkładamy liczby podpierwiastkowe na liczby wymierne i niewymierne (czyli na liczby dające się spierwiastkować oraz liczbę, która wynikiem działania wyciągania liczby przed znak pierwiastka
Wyłączmy liczbę przed znak pierwiastka
mnożymy ze sobą liczby przedpierwiastkowe
mnożymy ze sobą pierwiastki
Jeśli w wyniku mnożenia pierwiastków wyszła liczba całkowita (były mnożone te same pierwiastki lub pierwiastki taką liczbę dającą) to mnożymy wynik mnożenia liczb przedpierwiastkowych (czyli wynik uzyskany w kroku 6) z wynikiem mnożenia liczb podpierwiastkowych, a jeśli nie powstała liczba całkowita, wtedy:
a)mnożymy liczby podpierwiastkowe
b)wyciągamy liczbę przed znak pierwiastka (o ile jest to możliwe)
c)mnożymy liczbę przedpierwiastkową z wynikiem uzyskanym w kroku 6

Pamiętaj!!!
Mnożymy liczby przedpierwiastkowe z liczbami przedpierwiastkowymi, a liczby podpierwiastkowe z liczbami podpierwiastkowymi. Pamiętaj również, że przy pierwiastkach drugiego stopnia, wynik pierwiastkowania jest zawsze dodatni (z wyjątkiem pierwiastka z 0, którego pierwiastek drugiego stopnia wynosi 0)

Pamiętaj, że przy mnożeniu pierwiastków możesz włączyć mnożone pierwiastki ( i tyko pierwiastki) pod jeden wspólny pierwiastek co można przedstawić następująco:

Po tym trzeba tylko wyciągnąć liczbę przed znak pierwiastka

Teraz czas na zrobienie kilku (dokładnie wielu) zadań dla utrwalenia naszej wiedzy i jej pogłębieniu

Zad. 1
Oblicz iloczyny pierwiastków:
a)
b)
c)
d)

Rozwiązania:
Możemy rozwiązać te zadania na dwa sposoby (ja oczywiście zrobię oba oraz będę przy tych mniejszych pierwiastkach od razu wyciągał liczbę przed znak pierwiastka)- pierwszy to ten o, którym wspomniałem na początku, a drugi to ten co wspominałem później:

a)

b)Tutaj możemy wykorzystać tylko mnożenie sposobem drugim (czyli tym późniejszy):

c) Znowu możemy wykorzystać tylko sposób drugi:

d)

Zad. 2
Oblicz pole powierzchni trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych:
a) oraz
b) oraz
c) oraz

Rozwiązania:
Skoro są to przyprostokątne trójkątów prostokątnych, to po prostu podstawiamy długości boków pod niewiadome 'a’ i 'b’ we wzorze:

a)

b)

c) =

Dotychczas mogliście myśleć, że mnożenie dotyczy tylko pierwiastków drugiego stopnia, otóż nie!!!. Mnożenie pierwiastków dotyczy każdego pierwiastka na każdym stopniu, tylko pamiętaj, że możesz wykonywać działania tylko na pierwiastkach na tym samym stopnia, więc spokojnie możesz liczby przedpierwiastkowe (niezależnie od stopnia pierwiastka przy, którym ”stoją”) mnożyć ze sobą. Pamiętaj tylko, że przy pierwiastkach n-stopnia, wynik pierwiastkowania może być dodatni lub ujemny (lub równy 0 dla pierwiastka z 0)

Dodatkowo przypominam, żeby, zanim przystąpisz do mnożenia pierwiastków to, te pierwiastki poddać działaniu wyłączani liczby przed znak pierwiastka oraz pierwiastki stopnia innego niż drugi, będę zapisywał w formie:

lub zdarzy mi się również:

gdzie:
x- liczba przedpierwiastkowa
m- potęga liczby przedpierwiastkowej
n- stopień pierwiastka
z- liczba podpierwiastkowa

Zad. 3
Pewien trójkąt prostokątny ma jedną przyprostokątną długości cm oraz przeciwprostokątną długości cm. Oblicz pole tego trójkąta prostokątnego.

Rozwiązanie:
Mamy dane tylko przyprostokątną i przeciwprostokątną, a do obliczenia pola potrzebujemy jeszcze drugiej przyprostokątnej, na szczęście jest to trójkąt równoboczny, więc długość drugiej przyprostokątnej możemy obliczyć z przekształconego twierdzenia Pitagorasa:

/

Teraz tylko podstawić nasze pierwiastki pod odpowiadające im niewiadome:

/ (teraz obustronnie pierwiastkujemy)

( nie wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka, gdyż się nie da)

Mamy znany drugi bok, więc możemy obliczyć pole naszego trójkąta:

(z liczby podpierwiastkowej, nie da się wyciągnąć liczby przed znak pierwiastka)

Zad. 4
Boki prostokąta mają długość odpowiednio oraz . Ile wynosi pole i obwód tego prostokąta?

rozwiązanie:
Na początku przypomnijmy sobie wzory na obwód i pole prostokąta:

Dodatkowo długość pierwszego boku da się zapisać krócej (ze względu na występującą tam potęgę bez nawiasu- patrz wyżej):

Teraz możemy podstawić nasze dane boki i obliczyć pole i obwód wspomnianego prostokąta:

[j2] (nie da się wyłączyć liczby przed znak pierwiastka oraz nie ma podanej jednostki)

[j] (wyrażenie zostawiamy w takiej formie ze względu na inne liczby podpierwiastkowe

Mamy wszystkie elementy składające się na odpowiedź:
Odp.: Pole tego prostokąta wynosi jednostek kwadratowych oraz jego obwód wynosi jednostek

Zad. 5
Jeden bok ostrosłupa foremnego ma długość równą dm. Oblicz jego objętość i wysokość.

Rozwiązanie:
Jeśli w tekście jest powiedziane, że jest to ostrosłup foremny- jest to jeden ze sposobów nazewnictwa czworościanu foremnego (którego kiedyś opisywałem- zachęcam do przeczytania). Ma on indywidualne wersje wzorów na objętość oraz swój własny wzór na wysokość ostrosłupa, które wyglądają następująco:

Wysokość ostrosłupa:

Objętość ostrosłupa:

W zadaniu proszą nas tylko o obliczenie, więc nie dajemy odpowiedzi do zadania. Możemy teraz podstawić naszą daną do wzorów:

[dm]

Mamy wysokość, teraz czas na objętość:

Zad. 6
Pewien równoległobok jeden bok długości cm, a długość drugiego boku wynosi cm. Ile wynosi pole tego równoległoboku jeśli, jego najmniejszy kąt ma miarę 60 ?

Rozwiązanie:
Kiedyś pisałem o wzorach na pole równoległoboku i jeden z nich pasuje do sytuacji przedstawionej w zadaniu. Wzór ten wygląda następująco:

Mamy dane boki, lecz nie mamy danej wartości sinusa alfa. Możemy łatwo się dowiedzieć tego z tablicy trygonometrycznej. Jeśli kąt 'α’ ma miarę to wtedy ’ ’
Teraz, gdy mamy dane wszystkie potrzebne informacje do obliczenia pola równoległoboku, więc możemy teraz tylko podstawić dane do wzoru i obliczyć pole równoległoboku (przy mnożeniu skorzystamy ze sposobu pierwszego):

(szóstka i dwójka w mianowniku ładnie się nam skrócą)

Skoro w zadaniu pytają nas, ile wynosi pole (a nie musimy go tylko obliczać), możemy dać odpowiedź:
Odp.: Pole tego równoległoboku wynosi

Zad. 6
Trapez równoramienny ma dłuższy bok długości cm oraz bok krótszy długości , Natomiast jego ramiona mają długość cm. Ile wynosi pole tego trapezu?

Rozwiązanie:
Na początku zilustrujmy sobie ten trapez, by było łatwiej nam prowadzić zadania:

Na obrazku zaznaczone niewiadome są równe (oprócz niewiadomych 'x’ oraz 'h’):
a=
b=
c=
Nie mamy danej wysokości (czyli nasza niewiadoma 'h’, gdyż wzór na pole trapezu wygląda następująco: ), ale zauważ, że gdy narysujemy (tudzież naszkicujemy) wysokość, to wraz z podstawą 'x’ (który jest fragmentem dłuższego boku: 'b’) oraz ramionem 'c’ tworzą trójkąt prostokątny, więc wystarczy nam tutaj obliczyć bok 'x’ i później dzięki twierdzeniu pitagorasa (oczywiście przekształconemu) możemy obliczyć wysokość tego trapezu, a później jego pole. Zacznijmy od fragmentu dłuższego boku (czyli naszego 'x’), żeby go obliczyć musimy od dłuższego boku odjąć krótszy i podzielić wynik przez dwa (gdyż jest to trójkąt równoramienny, więc strefa po nałożeniu na siebie dłuższego i krótszego boku jest równa i różnicy, a ze względu, że to trapez równoramienny, więc ta pozostała strefa jest równa dwóm naszym 'x’), czyli w praktyce, będzie to wyglądać następująco:

[cm]

Teraz, gdy mamy dany bok 'x’ możemy obliczyć z przekształconego wzoru ze twierdzenia Pitagorasa (od razu skorzystam z przekształconego wzoru):

/ (zawsze warto spierwiastkować dopiero pod koniec obliczeń)

Teraz, gdy mamy daną wysokość tego trapezu, możemy wreszcie obliczyć jego pole:

Teraz po obliczeniu pola tego trapezu, możemy dać odpowiedź:
Odp.: Pole tego trapezu wynosi

Jak widzicie, mnożenie pierwiastków nie jest takie trudne, lecz jeśli nadal macie z tym problemy, to ćwiczcie (tylko nie przemęczajcie mózgu) i uczcie się.

Koniec