Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

Układy równań to jedno z zagadnień, które pojawia się na matematyce w każdej szkole, na różnych tematach. Nawet studenci ekonomii, informatyki czy matematyki muszą się z nimi mierzyć. Układy równań to równania, które posiadają niewiadome. Rozwiązaniem takich układów równań są obliczone wartości wszystkich niewiadomych. Do rozwiązywania układów równań można skorzystać z metody podstawiania, metody przeciwnych współczynników, metody wyznaczników oraz metody graficznej. W opracowaniu skupię się na opisywaniu metody podstawiania.

Przykładowy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi:

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z wybranego równania, a następnie podstawienie tej niewiadomej do kolejnego równania. Najlepiej pokazać to na praktycznym przykładzie, dlatego rozważymy różne układy równań.

Zadanie 1
Dany jest układ równań:


Rozwiąż układ równań metodą podstawiania.

Najpierw wyznaczymy jedną niewiadomą z dowolnego równania. Ja wybieram równanie pierwsze, wyznaczę z niego niewiadomą x. W tym celu przenosimy wyznaczaną niewiadomą na jedną stronę, a inne liczby i niewiadome na drugą stronę równania.

Następnie podstawiamy wyznaczoną niewiadomą x do drugiego równania.


Obliczamy niewiadomą y przez przeniesienie wszystkich liczb na jedną stronę, a niewiadomej na drugą stronę.

Obliczyliśmy wartość niewiadomej y. Teraz musimy obliczyć niewiadomą x. Postawiamy więc wartość y do dowolnego równania. Ja wybieram następujące:

Odpowiedź: Rozwiązanie układu równań to: x = 2, y = 3.

Zadanie 2
Dany jest układ równań:


Rozwiąż układ równań za pomocą metody podstawiania.

Postępujemy dokładnie tak samo jak w zadaniu pierwszym. Najpierw musimy wyznaczyć jedną niewiadomą. W tym przypadku nie jest już tak prosto, jak w zadaniu pierwszym, ponieważ przy każdej niewiadomej mamy jakiś współczynnik.
Wybieram równanie pierwsze oraz wyznaczenie niewiadomej x:

Najpierw przenoszę wszystkie inne liczby oraz niewiadomą y na drugą stronę, tak, żeby po lewej została tylko niewiadoma x z współczynnikiem.

Teraz dzielimy stronami przez 2.

Podstawiamy do drugiego równania:


Należy pamiętać o nawiasie, ponieważ mnożymy całą wartość przez 3.
Wymnażamy, a następnie rozwiązujemy równanie.





Podstawiamy wartość oraz wyznaczamy x.

Odpowiedź: Rozwiązanie układu równań to: x = 2, y = 1.

Należy pamiętać, że nie zawsze układy równań mają rozwiązanie.
Wyróżniamy układy oznaczone, nieoznaczone oraz sprzeczne.

Układ oznaczony ma jedno rozwiązanie.
Układ nieoznaczony ma wiele rozwiązań.
Układ sprzeczny nie ma żadnych rozwiązań.

Przykład układu sprzecznego:

x = 5 – y
2(5-y) + 2 y = 15
10 – 2y + 2y = 15
10 = 15
sprzeczność

Układ nieoznaczony jest wtedy, gdy na końcu po podstawieniu niewiadomych mamy wynik typu:
0 = 0
10 = 10
5 = 5
Czyli nieważne, co podstawimy do równania, zawsze będzie się zgadzało. Rozwiązań będzie nieskończenie wiele.