Działania na logarytmach

Logarytmy to zagadnienie wprowadzane w szkołach średnich. Bardzo często na maturze pojawiają się zadania z logarytmami, które są proste pod warunkiem, że znamy wzory, wiemy jak obliczyć logarytmy oraz nie są obce nam własności logarytmów. Dlatego moim zdaniem warto dobrze opanować zagadnienie logarytmów, żeby uzyskać dodatkowe punkty na maturze.

Logarytmy to działanie odwrotne do obliczania potęg.
Logarytm można zapisać za pomocą następującego wzoru:

gdzie a to podstawa logarytmu, która zawsze jest większa niż 0 oraz nigdy nie jest równa 1
b to liczba logarytmowana, która zawsze jest większa niż 0
c to wynik, który spełnia następującą zależność: .

Przykład
Zapiszmy logarytm:
dlatego, że

Powyższy logarytm czytamy jako: logarytm liczby 64 przy podstawie 8 lub logarytm o podstawie 8 z liczby 64.

Wybrane własności logarytmów, które wykorzystujemy najczęściej:

Wzór 1.
Dodawanie logarytmów o tej samej podstawie:

Wzór 2.
Odejmowanie logarytmów o tej samej podstawie:

Wzór 3.

Wzór 4.

Wzór 5.

Wzór 6.

Wzór 7.

Wzór 8.

Zadanie 1
Obliczymy teraz logarytmy:
a)
Dlatego, że

b)
Dlatego, że korzystamy z własności czwartej, ale również możemy napisać obliczenia:

c)
W tym przypadku korzystamy ze wzoru piątego. Logarytm możemy rozpisać jako iloraz dwóch logarytmów o innej podstawie.
Ja wybrałam podstawę 2, ponieważ:

Ta własność ułatwia obliczenia. Stosujemy ją, gdy zmiana podstaw logarytmów umożliwi nam proste obliczenia logarytmów.

d)
Korzystamy z własności ósmej. Możemy również obliczyć:

e)
Korzystamy z własności drugiej. A następnie obliczamy pojedyncze logarytmy z podstawowego wzoru na logarytm.
dlatego, że
dlatego, że

f)
Wykorzystałam własność szóstą. W przypadku, gdy podstawa jest większa niż liczba logarytmowana, warto wykorzystać właśnie tą własność. Dzięki temu łatwiej obliczyć dlatego, że .

g)
Przy obliczeniu tego logarytmu stosujemy własność siódmą. Oczywiście bez znajomości tego wzoru też możemy rozwiązać to zadanie.
dlatego, że
dlatego, że

Powyższe przypadki pokazują, że logarytmy wcale nie są takie trudne, ale trzeba obliczyć dużo przykładów, żeby je opanować. W szkole średniej logarytmy mogą budzić strach przed uczniami. Natomiast polecam przejrzeć arkusze matury podstawowej z matematyki. Zobaczycie wtedy, że logarytmy pojawiają się praktycznie co rok. Jest to tak zwany pewniak na maturze. Dlatego warto opanować logarytmy, żeby mieć zapewniony punkt, a wiadomo, każdy punkt na maturze jest bardzo cenny.

Jest to zadanie z matury podstawowej z matematyki z 2019 roku z oficjalnej strony CKE.

Spróbujmy rozwiązać to zadanie.

Jeżeli nie umiemy na pierwszy rzut oka stwierdzić, ile to będzie, to z łatwością możemy podstawić wszystkie odpowiedzi do wzoru:

Zacznijmy od odpowiedzi A.

Odpowiedź się zgadza, więc poprawną odpowiedzią w tym zadaniu będzie A.