Opracowanie:
Działania na potęgach
Działania na potęgach
Działania na potęgach
W tym opracowaniu dowiesz się:
Czym jest potęga.
Jak wygląda potęga.
Czym jest pierwiastek.
Jak wygląda pierwiastek.
Jak mnożyć potęgi.
Jak dzielić potęgi.
Jak potęgować potęgi.
Jak pierwiastkować potęgi.
Jak dodawać potęgi.
1. Czym jest potęga?
Potęga jest to liczba zapisana przy pomocy podstawy potęgi oraz jej wykładnika. Potęgę możemy również nazwać jako iloczyn tych samych liczb, których jest określona ilość, ale więcej o tym wspomnę w punkcie 2.
2. Jak wygląda potęga?
Jak wcześniej wspomniałem, potęga składa się z podstawy potęgi oraz wykładnika potęgi, który znajduje się po prawo od liczby w indeksie górnym. Podstawa potęgi określa jakie liczby będziemy przez siebie mnożyć, natomiast wykładnik potęgi wskazuje nam, ile razy liczba podana w podstawie potęgi będzie występowała podczas mnożenia.
Potęga wygląda następująco:
a – podstawa potęgi
b – wykładnik potęgi
Poniżej przedstawię kilka potęg wraz z ich rozwiązaniami:
Przykład:
Przedstaw potęgę jako liczbę całkowitą.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
e)
Rozwiązanie:
f)
Rozwiązanie:
g)
Rozwiązanie:
h)
Rozwiązanie:
Powyżej przedstawiłem przypadki w których wykładnik potęgi jest liczbą dodatnią. Lecz co jeśli wykładnikiem potęgi będzie liczba ujemna? Wtedy natomiast podstawę potęgi zmieniamy na jej odwrotność i podnosimy do potęgi będącą liczbą przeciwną do wykładnika potęgi, czyli w tym przypadku do liczby dodatniej.
Przykład:
Przedstaw potęgę jako liczbę całkowitą.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
e)
Rozwiązanie:
f)
Rozwiązanie:
g)
Rozwiązanie:
h)
Rozwiązanie:
Szczególnym przypadkiem wykładnika potęgi jest liczba 0. Jest tak, ponieważ każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje wynik 1.
Przykład:
Przedstaw potęgę jako liczbę całkowitą.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
e)
Rozwiązanie:
f)
Rozwiązanie:
g)
Rozwiązanie:
h)
Rozwiązanie:
WAŻNE!
Zanim przeczytasz ten podpunkt przejdź do punktów 3 oraz 4, a następnie po przeczytaniu obu punktów wróć do tego podpunktu.
Warto również wspomnieć o przypadku, w którym wykładnikiem potęgi jest ułamek. Wtedy należy tą potęgę zamienić na pierwiastek o stopniu równym mianownikowi wykładnika potęgi, a podstawę potęgi podstawić pod ten pierwiastek do potęgi równej licznikowi wykładnika potęgi.
Przykład:
Przedstaw potęgę jako liczbę całkowitą.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
e)
Rozwiązanie:
f)
Rozwiązanie:
g)
Rozwiązanie:
h)
Rozwiązanie:
3. Czym jest pierwiastek?
Pierwiastkowanie jest to działanie przeciwne do potęgowania. Przy pierwiastkowaniu szukamy liczby która podniesiona do określonej potęgi da nam wartość pierwiastka o stopniu będący tą samą liczbą co wykładnik potęgi. Oznacza to, że jeżeli pierwiastek posiada liczbę a pod pierwiastkiem 2 stopnia, to musimy znaleźć liczbę która podniesiona do 2 potęgi da nam liczbę znajdującą się pod pierwiastkiem.
4. Jak wygląda pierwiastek?
Znak pierwiastka wygląda następująco:
Pierwiastki mogą być różnego stopnia, a stopień pierwiastka zapisujemy w indeksie górnym po lewej stronie od pierwiastka. Dla pierwiastka 2 stopnia, nie zapisujemy nic w indeksie górnym.
Pierwiastek 2 stopnia wygląda następująco:
Pierwiastek 3 stopnia wygląda następująco:
Pierwiastek 4 stopnia wygląda następująco:
Poniżej przedstawię przykłady pierwiastków wraz z ich rozwiązaniami.
Przykład 1:
Przedstaw pierwiastek jako liczbę całkowitą.
a)
Rozwiązanie:
, ponieważ
b)
Rozwiązanie:
, ponieważ
c)
Rozwiązanie:
, ponieważ
d)
Rozwiązanie:
, ponieważ
e)
Rozwiązanie:
, ponieważ
f)
Rozwiązanie:
, ponieważ
g)
Rozwiązanie:
, ponieważ
h)
Rozwiązanie:
, ponieważ
Przykład 2:
Przedstaw pierwiastek jako liczbę całkowitą.
a)
Rozwiązanie:
, ponieważ
b)
Rozwiązanie:
, ponieważ
c)
Rozwiązanie:
, ponieważ
d)
Rozwiązanie:
, ponieważ
e)
Rozwiązanie:
, ponieważ
f)
Rozwiązanie:
, ponieważ
g)
Rozwiązanie:
, ponieważ
h)
Rozwiązanie:
, ponieważ
5. Jak mnożyć potęgi?
Potęgi o tych samych podstawach potęgi, ale o różnych wykładnikach, mnożymy podstawiając podstawę potęgi do sumy wykładników potęg.
Potęgi o tych samych wykładnikach, ale różnych podstawach, mnożymy podstawiając iloczyn podstaw pod potęgę znajdującą się w obu czynnikach.
Przykład 1:
Przedstaw iloczyn potęg za pomocą jednej potęgi.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
e)
Rozwiązanie:
f)
Rozwiązanie:
g)
Rozwiązanie:
h)
Rozwiązanie:
Przykład 2:
Przedstaw iloczyn potęg za pomocą jednej potęgi.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
e)
Rozwiązanie:
f)
Rozwiązanie:
g)
Rozwiązanie:
h)
Rozwiązanie:
6. Jak dzielić potęgi?
Potęgi o tych samych podstawach potęgi, ale o różnych wykładnikach, dzielimy podstawiając podstawę potęgi do różnicy wykładników potęg.
Potęgi o tych samych wykładnikach, ale różnych podstawach, dzielimy podstawiając iloraz podstaw pod potęgę znajdującą się w dzielniku oraz dzielnej.
Przykład 1:
Przedstaw iloraz potęg za pomocą jednej potęgi.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
e)
Rozwiązanie:
f)
Rozwiązanie:
g)
Rozwiązanie:
h)
Rozwiązanie:
Przykład 2:
Przedstaw iloraz potęg za pomocą jednej potęgi.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
e)
Rozwiązanie:
f)
Rozwiązanie:
g)
Rozwiązanie:
h)
Rozwiązanie:
7. Jak potęgować potęgi?
Potęgi potęgujemy mnożąc ze sobą wykładniki potęg, a następnie podkładamy podstawę potęgi pod iloczyn wykładników potęg.
Przykład:
Przedstaw spotęgowaną potęgę za pomocą potęgi o jednym wykładniku.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
e)
Rozwiązanie:
f)
Rozwiązanie:
g)
Rozwiązanie:
h)
Rozwiązanie:
8. Jak pierwiastkować potęgi?
Potęgi możemy usunąć jedynie podkładając ją pod pierwiastek tego samego stopnia co potęga.
Przykłady:
Wiedza ta przyda się w przypadku gdy będziemy podczas obliczania równania mieli niewiadomą podniesioną do określonej potęgi. Lecz należy pamiętać, że obie strony równania należy wtedy dać pod pierwiastek.
9. Jak dodawać potęgi?
Potęgi możemy dodawać jedynie w przypadku, gdy są one o tej samej podstawie oraz o tym samym wykładniku potęgi, ponieważ w innym przypadku trzeba każdą z potęg obliczać osobno, a wyniki potęg do siebie dodać.
Poniżej przedstawię kilka przykładów w których będą dodawane potęgi o tych samych podstawach oraz wykładnikach potęgi.
Przykład:
Przedstaw sumę potęg za pomocą jednej potęgi.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie: