Drzewo prawdopodobieństwa

Drzewo prawdopodobieństwa, zwane inaczej drzewem stochastycznym, jest bardzo wygodnym sposobem opisu wieloetapowych zdarzeń losowych. Najlepiej zobaczymy to na przykładach:

Przykład 1:
W urnie jest 5 kul: 3 białe i 2 czarne. Losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowane kule będą różnych kolorów?
Rozwiązanie:
Musimy sobie uświadomić, że mamy tu do czynienia z dwoma losowaniami. Sytuacji nie ułatwia fakt, że są one ze sobą powiązane – kiedy wyciągniemy z urny pierwszą kulę, zmieni się proporcja między ilością białych i czarnych.
Pierwsze losowanie:
Musimy się zastanowić, jaka jest szansa, na wylosowanie poszczególnych kolorów. Wszystkich kul w urnie jest 5, w tym 3 białe i 2 czarne.
<--- prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jako pierwszej
<--- prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli jako pierwszej
Narysujmy graf (który zaraz okaże się czubkiem drzewa prawdopodobieństwa) obrazujący tę sytuację:

to zdarzenie polegające na wylosowaniu białej kuli. Jego prawdopodobieństwo wynosi , dlatego nad gałęzią prowadzącą do niego napisaliśmy
Analogicznie dla oznaczającego wylosowanie kuli czarnej, nad gałęzią zapisaliśmy
Drugie losowanie:
Niezależnie od wyniku pierwszego losowania, jedna rzecz nie ulega wątpliwości – liczba kul w urnie wynosi teraz 4 (bo jest to losowanie bez zwracania, więc kuli, którą wyjęliśmy, nie wkładamy z powrotem do urny). Dalej musimy rozważyć dwa przypadki:
Jeżeli w pierwszym losowaniu wyjęliśmy białą kulę, to teraz w urnie zostały dwie białe kule i dwie czarne. Stąd:


To też zaznaczamy na grafie-drzewku poniżej zdarzenia wylosowania białej kuli w pierwszym losowaniu:

Teraz rozważymy drugi przypadek:
Jeżeli w pierwszym losowaniu wyjęliśmy czarną kulę, to teraz w urnie zostały trzy białe kule i jedna czarna. W takiej sytuacji:


Dorysujemy brakujące gałęzie drzewa:

Tak prezentuje się gotowe drzewo – tylko jak odczytać z niego rozwiązanie?
W poleceniu proszą nas o wskazanie sytuacji, kiedy wylosowaliśmy dwie kule w różnych kolorach. Może to oznaczać, że najpierw wylosowaliśmy białą kulę a później czarną lub, że najpierw wylosowaliśmy czarną, a później białą.
Tę sytuację możemy (a nawet musimy, żeby dostać maksymalną ilość punktów a ten sposób rozwiązania) zaznaczyć na grafie:

Prawdopodobieństwo każdej z tych sytuacji otrzymamy wymnażając liczby nad gałęziami
<--- prawdopodobieństwo wylosowania najpierw kuli białej, później czarnej
<--- prawdopodobieństwo wylosowania najpierw kuli czarnej, później białej
Aby obliczyć całkowite prawdopodobieństwo, dodajemy częściowe prawdopodobieństwa:

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosowane kule będą różnych kolorów wynosi

Przykład 2:
W pierwszej urnie są 3 białe kule i 2 czarne. W drugiej urnie jest 1 biała kula i 4 czarne.
Najpierw rzucamy sześcienną kostką – jeśli wypadnie liczba oczek większa od 4, losujemy jedną kulę z pierwszej urny. W przeciwnym razie (czyli jeśli na kostce wypadnie 4 lub mniej oczek), losujemy jedną kulę z urny drugiej.
Większa jest szansa wylosowania kuli białej, czy czarnej?
Rozwiązanie:
W tym przypadku od wyniku rzutu kostką (pierwszego losowania) zależy, z której urny będziemy losować kulę (drugie losowanie).
Pierwsze losowanie: rzut kostką
Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek większej od 4 (tzn. 5 lub 6) wynosi .
Skutkiem takiego wyniku będzie to, że w następnym kroku będziemy losować kulę z urny pierwszej
Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek 4 lub mniej (tzn. 1, 2, 3 lub 4) wynosi
Skutkiem takiego wyniku będzie to, że w następnym kroku będziemy losować kulę z urny drugiej
Rysujemy czubek drzewa:

Możemy też poniżej (lub zamiast) wyników losowania, narysować urny, z których będziemy wykonywać następne losowanie. Generalnie, metoda drzewka jest bardzo elastyczna – jedyne, co ocenia egzaminator na maturze, to ułamki zapisywane nad gałęziami.
<---- wersja z dorysowanymi poniżej odpowiednimi urnami
Drugie losowanie: kule z urny
Jeżeli na kostce wyrzuciliśmy 5 lub 6, teraz losujemy jedną kulę z urny pierwszej:



Jeżeli na kosce wyrzuciliśmy mniejszą ilość oczek, losujemy kulę z urny drugiej:



Oto kompletne drzewo. Pozostaje tylko obliczyć prawdopodobieństwa całkowite.
Zacznijmy od prawdopodobieństwa wylosowania białej kuli – zaznaczamy gałęzie prowadzące do takich sytuacji:



<---- całkowite prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli
Obliczamy całkowite prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli:



<--- całkowite prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli
< , więc <
Odpowiedź: Większe jest prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli