Suma ciągu geometrycznego

Ciąg nazywamy geometrycznym gdy iloraz dowolnego wyrazu przez wyraz który go poprzedza jest stały.

Iloraz ten oznaczany przez q.

Wzór ogólny ciągu geometrycznego: an = a 1 qn-1

Suma ciągu geometrycznego:

Wzór: a1
an = 2 3 n-1

a2 = 2
a7 = -64
a2 = a1 ⋅q
-64= a1 q6
2 = a1 q

2= a1. q
-64= a1 q6

=

q5 = -32
q = -2
-2q = 2
q = -1

S8 = -1. = -1 =
1- = 85

1 + 1 + +…..+
=
q=
an = a 1 qn-1
= ( ) n-1/

n-1 =
( )6 = n-1 = 6, n = 7
S7 = a1 = =

= =

q=
an =
Sn = 19

Sn = a 1 = 2a1 ( 1-( )n)=
19

2a1 (1-( )n) = 19
a1 ( )n-1 =

a1 ( ) n 2 = 5
2a1 (1-( )n = 19

n = t

t =
1-t = 19
t = 18

a1 = 9
an = 144
Sn = a 1
Sn = 9

an = a 1 qn-1

144 = 9 q4
9q4 = 144
q4 = 16
q = 2

Sn = 9
Sn = 9 = 9 = 279

q= √5
an = 625√5
n = 8
Sn = a 1
Sn = a1

625√5 = a1 (√5)7
625√5 = a1 125√5
a1 125√5 = 625√5
125a1 = 625
a1 = 5

Sn = 5

Sn = 5 = 5 = =

a3 = 45
a6 = 1215

a3 = a1 q2
a6 = a1 q5
a1 q2 = 45
a1 q5= 1215
q-3 =
q= 3

45= a1 q2
45= a 9
a1 9= 45
a1 = 5

S8 = a1
S8 = 5
S8 = 5 = 5 =
5 3280= 16400

a2 = 20
a4 = 5
S10 = a1
a2 = a1 q
a4 = a1 q3
a 1 q= 20
a1 q3 = 5
q-2 = 4
q= v q= –

dla q =
20 = a1
a1 = 20
a1 = 40

dla q= –
20 = a 1 (- )
– a = 20
a = -40

S 10 = 40 = 40 =
40 = 40 = 40 / : = 40 = =

= = 79

a2 = 12
a7= 2916
12 = a1 q
a1 = 4

an = 4 3n-1
a 1 = 54
q=
an =

a1 q=12
a1 q6 = 2916
q-5 = 243
q= 3

Sn = a1⋅
Sn = 54
= 54( )n-1
( )n-1 =
( ) n-1= = 6561

-7-4-1+2+….+227
r = 3
a1 = 7
an = 227
q= 3
an = 4 38-1
an = 4 37

13120= 4
13120 = 4
1-3n= -6560
3n = 6561
n= 8

a1 = 2
an = 1458
Sn = 2186

2186 = 2
1458= 2 qn-1
qn-1 = 729
q2 = 729q

2 = 2186/:2
= 1093 / (1-q)
1-729q = 1093 -1093q
364q= 1092
q= 3

3n-1 = 729
3n-1= 36 z tego wynika, ze n= 7

q= 6
S5 = 1555
S5= a 1

1555= a 1
1555= a 1 1555
a1 = 1

a2 + a4 + a6= 91
a1 + a3 +a5 = 30
a1 q + a1 q 3+ a 1 q5= 91
a1 q(1+q2 + q4) = 91

a1 + a 1 q2 + a 1 q4 =
a1 ( 1+q2 +q 4 ) =

a1 (1 + q2 + q4 ) =
a1 q( 1+q 2 +q 4) = 91
q= 3

a1 3 (1+9+81)= 91
a1 273= 91
a 1 =

1,4, 20 wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy r różny od 0 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Obliczu iloraz tego ciągu.

a4 2= a1 a20
(a 1 +3r) 2 = a1 ( a1 + 19r)
a12 +9r2 = a12 +19a1 r
9r2 -13a1 r= r(9r -13a1) =0
r= 0
r=

q= = = =
=

Wyraz 2,9,37 rosnącego ciągu arytmetycznego są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego a ich suma wynosi 147. Wyznaczony wzór ogólny ciągu geometrycznego

a92 = a2 a37
(a1 +8r) 2 = (a1 + r )(a1 +36r)
3a1 +45r = 147/:3
a1 +15r = 49
a1 = 49 -15r

a2 = a 1 +r
a9 = a 1 +8r
a37 = a 1 +36r

(49-7r)2 = (49-14r)(49+21r)
2401 -686r +49r2 = 2401 +20r
1029-686r -294r2
49r 2 +294r2 -1029r= 0
343r 2 -1029r = 0
r( r-3) = 0
r= 0 r=3

a1 = 4
a2 = 7
a9 = 4+8 3 =28
a37 = 4+36 3 = 113

an = 74n-1