Nierówność kwadratowa

Nierówność kwadratowa

W tym opracowaniu dowiesz się:

Czym jest równanie kwadratowe.
Czym jest nierówność kwadratowa.
Czym jest delta.
Jak obliczać x1 oraz x2.
Jak obliczać x0.
W jaki sposób rozwiązywać równania kwadratowe.
W jaki sposób rozwiązywać nierówności kwadratowe.

1. Czym jest równanie kwadratowe?

Równanie kwadratowe jest to równanie w którym niewiadoma jest przedstawiona w potędze 2. Poza niewiadomą w 2 potędze może wystąpić ta sama niewiadoma w ewentualnie niższym stopniu potęgi.

Równanie kwadratowe wygląda następująco:

2. Czym jest nierówność kwadratowa?

Nierówność kwadratowa jest to nierówność w której niewiadoma jest przedstawiona w potędze 2. Poza niewiadomą w 2 potędze może wystąpić ta sama niewiadoma w ewentualnie niższym stopniu potęgi.

Nierówność kwadratowa wygląda w jeden z poniżej przedstawionych sposobów:

ax2+bx+c > 0

ax2+bx+c 0

ax2+bx+c < 0 ax2+bx+c 0

3. Czym jest delta?

Delta jest to wyróżnik trójmianu kwadratowego. Dzięki niej można obliczyć miejsca zerowe funkcji oraz to gdzie znajduje się wierzchołek paraboli. Deltę oznaczamy przy użyciu trójkąta równobocznego: Δ.

Wzór na obliczenie delty dla równania kwadratowego wygląda następująco:

W zależności od wartości delty równanie kwadratowe może mieć różną ilość rozwiązań.

Jeśli delta jest większa niż 0, równanie kwadratowe ma 2 rozwiązania x1 oraz x2.

Δ>0

Jeśli delta jest równa 0, równanie kwadratowe ma 1 rozwiązanie x0.

Δ=0

Jeśli delta jest mniejsza niż 0, równanie kwadratowe ma 0 rozwiązań.

Δ<0

Rozwiązaniami równania, nazywamy miejsca przy których parabola równania kwadratowego ma swoje miejsca zerowe.

4. Jak obliczać x1 oraz x2?

x1 oraz x2 obliczamy przy użyciu poniższych wzorów:

5. Jak obliczać x0?

x0 obliczamy przy użyciu poniższego wzoru:

6. W jaki sposób rozwiązywać równania kwadratowe?

Poniżej przedstawię krok po kroku na podstawie kilku przykładów, w jaki sposób rozwiązuje się równania kwadratowe.

Przykład 1:

Rozwiąż równanie

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane:

a=2
b=6
c=3

Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:

Krok 3: Podstawiamy dane do wzoru:

Krok 4: Sprawdzamy ile rozwiązań ma równanie:

Δ=12>0

Równanie ma 2 rozwiązania.

Krok 5: Przedstawiamy wzór na obliczenie x1 oraz x2:

Krok 6: Podstawiamy dane do wzoru:

Odpowiedź: , .

Przykład 2:

Rozwiąż równanie

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane:

a=-3
b=-7
c=6

Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:

Krok 3: Podstawiamy dane do wzoru:

Krok 4: Sprawdzamy ile rozwiązań ma równanie:

Δ=121>0

Równanie ma 2 rozwiązania.

Krok 5: Przedstawiamy wzór na obliczenie x1 oraz x2:

Krok 6: Podstawiamy dane do wzoru:

Odpowiedź: , .

Przykład 3:

Rozwiąż równanie

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane:

a=4
b=-4
c=1

Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:

Krok 3: Podstawiamy dane do wzoru:

Krok 4: Sprawdzamy ile rozwiązań ma równanie:

Δ=0

Równanie ma 1 rozwiązanie.

Krok 5: Przedstawiamy wzór na obliczenie x0:

Krok 6: Podstawiamy dane do wzoru:

Odpowiedź: .

7. W jaki sposób rozwiązywać nierówności kwadratowe?

Nierówności kwadratowe obliczamy prawie tak samo jak równania kwadratowe. Po obliczeniu punktów zerowych dla funkcji, należy narysować parabolę i z niej odczytać wartości x.

WAŻNE!

Jeśli liczba znajdująca się przy jest ujemna, wtedy parabola będzie odwrócona.

Przykład 1:

Rozwiąż nierówność kwadratową

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane:

a=5
b=3
c=-1

Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:

Krok 3: Podstawiamy dane do wzoru:

Krok 4: Sprawdzamy ile rozwiązań ma nierówność:

Δ=29>0

Nierówność ma 2 rozwiązania.

Krok 5: Przedstawiamy wzór na obliczenie x1 oraz x2:

Krok 6: Podstawiamy dane do wzoru:

Krok 7: Odczytujemy rozwiązanie nierówności z wykresu:

Odpowiedź: < , >

Przykład 2:

Rozwiąż nierówność

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane:

a=-4
b=10
c=-4

Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:

Krok 3: Podstawiamy dane do wzoru:

Krok 4: Sprawdzamy ile rozwiązań ma nierówność:

Δ=36>0

Nierówność ma 2 rozwiązania.

Krok 5: Przedstawiamy wzór na obliczenie x1 oraz x2:

Krok 6: Podstawiamy dane do wzoru:

Krok 7: Odczytujemy rozwiązanie nierówności z wykresu:

Odpowiedź: < , >

Przykład 3:

Rozwiąż nierówność

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane:

a=4
b=-8
c=4

Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:

Krok 3: Podstawiamy dane do wzoru:

Krok 4: Sprawdzamy ile rozwiązań ma nierówność:

Nierówność ma 1 rozwiązanie.

Krok 5: Przedstawiamy wzór na obliczenie x0:

Krok 6: Podstawiamy dane do wzoru:

Krok 7: Odczytujemy rozwiązanie nierówności z wykresu:

Odpowiedź: .

Dziękuję za uwagę.