Koło

Zacznijmy od wyjaśnienia sobie czym jest koło (nie chodzi mi o miasto Koło, leżące nad Wartą w Kotlinie Kolskiej, tylko o figurę geometryczną). Otóż koło jest to nietypowa figura geometryczna na płaszczyźnie, ze względu na to że koło wygląda jak na obrazie poniżej:
Z tego co możecie zauważyć, koło jest figurą całkowicie zaokrągloną (czyli na jej brzegach nie ma odcinków prostych), więc można powiedzieć, że koło to punkty połączone (tudzież bardzo blisko siebie) oraz w jednakowej długości od środka koła (co to jest środek koła, powiem później). Dodatkowo koło jest zapełnione w czymś w środku, w przeciwieństwie do okręgu (czyli brzegu koła), które jest puste w środku. Teraz wiesz, czym jest koło, ale zanim przejdziemy dalej do głębszego poznawania koła (wraz z rzeczami i wzorami, które są z nim związane), zastanówmy się, jak narysować koło? Na początku weź kartkę i spróbuj samodzielnie narysować koło. Trochę trudno Ci jest je narysować (oraz, zapewne, nie wygląda jak koło)? Gdybyś chciał narysować (lub bardziej naszkicować) koło (nie musi być w środku zapełnione, lecz pamiętaj, by z treści zadania oraz rysunku rozróżnić koło od okręgu) musiałbyś wykorzystać cyrkiel (czyli urządzenie pokazane niżej i bardziej po lewej):

Żeby, za pomocą cyrkla, narysować koło, najpierw musisz wbić ostry koniec cyrkla w kartkę (żeby cyrkiel nie 'zjeżdżał’) i później rozstawić ramiona cyrkla na pewną odległość (między sobą). Teraz wystarczy tylko, że będziesz drugim końcem, na którym jest grafit, zakreślał okrąg wokół ostrego końca, aż do połączenia się miejsca z którego zacząłeś rysować z końcem miejsca, gdzie rysowałeś (czyli musisz zamknąć całą figurę, cały czas zataczając koło rysikiem wokół ostrego końca).
Teraz, gdy wiemy jak narysować koło, zajmijmy się najpierw jego budową:

Na obrazie niżej (oraz po lewej) widzicie z czego składa się koło, lecz to nie jest wszystko.
Koło składa się z:
a) cięciwy, czyli odcinka łączącego dwa dowolne punkty na brzegu koła (czyli okręgu) w linii prostej
b) promienia, czyli odcinka łączącego brzeg koła z środkiem koła
c) środka koła, czyli punkt, gdzie wbijamy ostry koniec cyrkla podczas rysowania koła (czyli prościej i inaczej mówiąc, jest to punkt wewnątrz koła, od którego 'droga’ do każdego punktu na brzegu koła jest równa)
Pamiętaj!!!- środek koła należy do koła, a nie okręgu
d) średnicy, czyli najdłuższej cięciwy, która przechodzi przez środek koła
e) okręgu, czyli inaczej brzegu koła. Dodatkowo tu wspomnę, że okrąg, brzeg koła (pokazany na rysunku) znaczą to samo (lecz tylko przy kole) i mają taką samą miarę. Jak obliczyć obwód koła, powiem nieco później.
f) stycznej, czyli prostej, która ma tylko jeden wspólny punkt z kołem zwanym punktem styczności

Teraz, gdy znamy budowę koła, zastanówmy się nad jego matematycznymi właściwościami (czyli wzorami):
Wzór 1.
Jak u wielu figur geometrycznych, tak i koła możemy wyliczyć jego obwód. Żeby go wyliczyć, możemy skorzystać z dwóch wzorów:

lub

gdzie:
Obw.- obwód koła
r- długość promienia tego koła
d- średnica tego koła (wcześniej nie wspomniałem, że średnica jest dwa razy dłuższa od promienia, czyli średnica to inaczej dwa promienie, pokrywające się ze sobą)
π- liczba 'pi’

Zanim przejdę do wzoru drugiego, powiem czym jest 'pi’
Otóż liczba π (czyt. 'pi’) to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Liczba π jest liczbą niewymierną (czyli ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone), która do dziesięciu miejsc po przecinku wygląda następująco:

W praktyce liczenie wartości, do których wyliczenia jest potrzebna wartość liczby π, byłaby trudna dla liczby niewymiernej, dlatego w zadaniach korzysta się z jej przybliżenia, które jest podane w zadaniu lub jeśli w zadaniu nie podanego przybliżenia, lecz chcą byśmy wynik podali w przybliżeniu, to wtedy korzystamy z przybliżenia:

Teraz, gdy wiemy czym jest liczba π, to przejdźmy do dalszej części tego opracowania:

Wzór 2
Tak samo jak było przy obwodzie koła, tak i jego opole da się wyliczyć. Pole koła liczymy ze wzoru:

gdzie:
P- pole koła
π- liczba pi
r- promień tego koła

Teraz zróbmy jedno zadanie z obwodem i polem koła dla przyswojenia tych informacji:
Zad. 1
Oblicz pole i obwód koła, jeśli jego średnica ma długość 20cm. Wyniki podaj w przybliżeniu.

Rozwiązanie:
Obwód policzymy łatwo- po prostu wykorzystamy wzór drugi, pamiętając o podaniu przybliżonej wartości, licząc z przybliżeniem liczby π (o którym pisałem wcześniej):

Na razie obliczyliśmy obwód tego koła, lecz co z jego polem?
Do pola potrzebny jest nam promień tego koła, więc żeby wyliczyć ten promień, musimy podzielić jego średnicę przez dwa (gdyż średnica jest dwa razy dłuższa od jego promienia):

Teraz mamy już obliczony promień, więc możemy teraz obliczyć już pole tego koła:

I tak obliczyliśmy pole i obwód koła.

Nie są to jedyne zjawiska dotyczące koła!!

Jak zapewne wiesz (bo pisałem o tym wcześniej), w kole występują promienie i cięciwy. Otóż możemy wyliczyć wiele (nawet nieskończenie wiele) cięciw i promieni. Jeśli byśmy narysowali dwie cięciwy lub promienie, to wtedy między tymi dwoma cięciwami lub dwoma promieniami tworzą się kąty, które w zależności, czy to cięciwy, czy to promienie, tworzą inne kąty (patrząc po ich nazwie), które zwiemy następującą:
a) kąt środkowy (przykładowy jest po lewej) to kąt, którego wierzchołkiem jest środek koła, a ramionami są promienie tego koła.
b) kąt wpisany (przykładowy jest po prawej) to kąt, którego wierzchołek jest dowolnym punktem na brzegu koła (czyli inaczej okręgu), a jego ramionami są cięciwy.

Dodatkowo istnieje zależność między kątem środowym i kątem wpisanym przy odpowiednich warunkach.
Tym warunkiem jest to że:
Jeśli kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku (czyli fragmencie brzegu koła, można to rozumieć jako, że zakończenia cięciw w kącie wpisanym i promieni w kącie środkowym, mają zakończenia w tym samym punkcie) to wtedy kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego (Zależność ta działa również w dugą stronę, czyli kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego)

Pamiętaj!!!!
Zależność ta dotyczy jedynie kąta środowego, którego kąt znajduje się naprzeciwko łuku opartego na tych kątach (czyli kąt środkowy musi wskazywać łuk, jak to jest pokazane na obrazkach obok), więc można powiedzieć/dodać jeszcze

Dla ułatwienia, kąt wpisany można oznaczyć jako kąt β a kąt środkowy można oznaczyć jako kąt α

By utrwalić tę wiadomość, zróbmy kolejne zadania:

Zad. 2
Oblicz miarę kąta środkowego, jeśli kąt wpisany ma miarę:
a)
b)
c)
jeśli są one oparte na tym samym łuku

Rozwiązanie:
Skoro kąty te są oparte na tym samym łuku, to możemy wykorzystać zachodzącą tu zależność:

Teraz wystarczy, w każdym przykładzie, podstawić miarę kąta wpisanego i obliczyć miarę kąta środkowego:
a)
b)
c)

I tak obliczyliśmy miarę kąta średniego, mając jedynie kąt wpisany

a teraz czas na te same zadanie, lecz na odwrót

Zad. 3
Oblicz miarę kąta wpisanego, jeśli kąt środkowy ma miarę:
a)
b)
c)
jeśli są one oparte na tym samym łuku

Rozwiązanie:
Wiemy, że są one oparte na tym samym łuku, więc korzystamy z własności:

Lecz jest to wzór wyliczający nam miarę kąta środkowego, więc jeśli chcemy mieć wzór na miarę kąta wpisanego musimy przekształcić wzór obecny:
/

Teraz wystarczy podłożyć miary kątów wpisanych (w odpowiednich podpunktach) i obliczyć miarę kąta środkowego:

a)

b)

c)

Teraz, gdy mamy przećwiczone kąty wpisane i kąty środkowe, możemy omówić kolejne pojęcia związane z kołem, a dokładnie strefach i odcinkach, które tworzą ramiona kąta środkowego, cięciwy oraz punkty na brzegu kola:

Na początku popatrzcie na obrazek poniżej (nie ma tu jednego omawianego pojęcia):

Teraz widzicie te odcinki i obszary występujące w kole. Możecie już kojarzyć czym one są, lecz ja i tak to wytłumaczę:
łuk okręgu- jest to fragment brzegu koła (może być wyznaczany przez dwa promienie w kącie środkowym lub cięciwę)
wycinek koła- jest to fragment obszaru, wytyczony przez promienie (tworząc jednocześnie kąt środkowy)
odcinek koła- jest to również fragment obszaru koła. lecz tym razem wytyczony przez cięciwę koła [przy zadaniach, gdy mamy obliczyć pole odcinka koła, wykorzystujemy często cięciwę łączącą miejsce styku ramion tworzących kąt środkowy (czyli promieni) z brzegiem koła (tudzież okręgiem) lecz i tak w obliczeniach korzystamy tylko z promienia i miarę kąta środkowego]

Uwaga!!
Cięciwa tworząca odcinek koła nie może być jednocześnie średnicą koła, o czym dowiesz się za chwilę
4.Półkole- połowa koła wyznaczana przez średnicę koła

O dziwo możemy wyliczyć długość łuku okręgu oraz pole powierzchni jakie zajmują wycinek koła i odcinek koła (jak to mogłeś wywnioskować), teraz przedstawię wam te wzory wraz z wyjaśnieniem:
-Wzór na długość łuku okręgu- skoro jest to fragment brzegu koła, a krawędzie łuku okręgu, po połączeniu ze środkiem koła, tworzy się kąt środkowy (oraz wycinek koła), a więc łuk okręgu jest zależny od kąta środkowego (również jest zależny od długości promienia tego koła), który tworzy ten kąt, więc długość tego łuku brzegu koła (nazwy można stosować zmiennie) jest to iloczyn obwodu koła oraz ilorazy miary kąta środkowego przez 360 (gdyż koło wyznacza całkowicie kąt , niezależnie dla, którego jednego promienia), więc wzór wygląda następująco:

gdzie:
r- promień koła
π- liczba pi
α- miara kąta środkowego, pomiędzy którego ramionami (czyli promieniami, które wyznaczają ten kąt) jest rozciągnięty ten łuk (w tym przypadku)

-Wzór na pole powierzchni wycinku koła- tak samo jak przy łuku okręgu, wycinek koła jest fragmentem lecz tym razem obszaru koła, ale powierzchnia wycinku koła również zależy od kąta środkowego (tworzonego przez promienie, które jednocześnie wyznaczają łuk okręgu i ograniczają wycinek koła), więc tak jak w poprzednim wzorze, wzór na pole powierzchni wycinka koła to iloczyn (tym razem) pola powierzchni koła oraz ilorazu miary kąta środkowego przez . Dlatego wzór wygląda następująco:

gdzie:
r- promień
π- liczba pi
α- miara kąta środkowego, pomiędzy którego ramionami (czyli promieniami, które wyznaczają ten kąt) jest ograniczony wycinek koła (w tym przypadku)

-wzór na pole powierzchni odcinka koła (czyli ten najbardziej skomplikowany)- tutaj powiem tylko, że odcinek koła to jest różnica pola powierzchni koła i pola drugiej części [czyli tej części, która wraz z cięciwą, rozciągniętą między miejscem łączenia się promieni (ramion) z brzegiem koła (okręgiem), tworzy trójkąt równoramienny, którego jednym z kątów jest kąt środkowy]. Za wiele nie mam do powiedzenia o tym wzorze, dlatego mogę napisać tylko, jak wygląda ten wzór:

gdzie:
r- promień koła
π- liczba pi
α- miara kąta, pomiędzy którego ramionami (czyli promieniami, które wyznaczają ten kąt) jest ograniczony trójkąt stworzony z cięciwy poprowadzonej między miejscami połączenia się promieni z brzegiem koła (w tym przypadku)

-wzór na pole powierzchni półkola- jest to najprostszy wzór, ze względu na to, że pole półkola to po prostu połowa pola powierzchni koła, dlatego wzór wygląda następująco:

gdzie:
r- promień
π- liczba pi

Nie będę was już męczył zadaniami i od razu przejdę do kolejnej ważnej rzeczy związanej z kołem, czyli:
-kołem wpisanym w figurę
-figurą wpisaną w koło

Zacznijmy od wyjaśnienia sobie, czym jest koło wpisane w figurę, a później figurą wpisaną w koło”
-koło wpisane w figurę to takie koło, które całkowicie zmieści się wewnątrz figury na płaszczyźnie
-figura wpisana w koło to figura, której wszystkie wierzchołki leżą na brzegu koła. Takie figury nazywamy foremnymi (wyjątkami są: prostokąt, romb nie będący kwadratem, równoległobok, trapez i deltoid)

Koniec