Opracowanie:
Moda

Moda

Zweryfikowane

Moda to inaczej modalna oraz dominanta. Moda to zagadnienie statystyczne, określające miarę centralną. Z czym kojarzy nam się moda? Pewnie większości z nas kojarzy się to z ubiorem oraz stylem. Modne ubrania to takie, które nosi wiele osób na ulicy, a także na wybiegach mody. Czym więc jest moda w statystyce? Moda w statystyce jest również „najmodniejszą” wartością, czyli taką, która występuje najczęściej. Zazwyczaj matematykę najłatwiej pokazać na przykładzie, więc w tym przypadku również spróbuję wytłumaczyć na przykładzie modalną.

Przykład 1
Dzieci otrzymały wyniki sprawdzianu. Oceny z tego sprawdzianu były następujące: 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5. Możemy zliczyć oraz przedstawić dane za pomocą tabeli:


Ocena


Liczba takich ocen


1


1


2


2


3


1


4


6


5


3



Zgodnie z informacjami o modzie, musimy wskazać, która ocena wystąpiła najczęściej. Od razu było widać, że 4 występuje najwięcej razy, ale tabela pomoże zobrazować dane w przypadku, gdy będziemy mieli ich naprawdę dużo.


Przykład 2
Wzrost w drużynie koszykarskiej chłopców z liceum przedstawia się następująco (w centymetrach): 180, 184, 193, 190, 179, 199, 194, 193, 192, 195, 196, 187, 189, 185, 188, 189, 199, 193, 194, 193. Wskaż modę.

Widzimy, że mamy w tym przypadku więcej danych, w dodatku są one w losowej kolejności. Oczywiście można spróbować policzyć i znaleźć wartość, która wystąpiła najwięcej razy, ale jest duże ryzyko pomylenia się w takim przypadku. Najlepszy sposób na rozwiązanie tego zadania, to uszeregowanie wartości w kolejności niemalejącej.

179, 180, 184, 185, 187, 188, 189, 189, 190, 192, 193, 193, 193, 193, 194, 194, 195, 196, 199, 199

Na takich danych możemy już szukać dominanty. Moda to 193.

Przykład 3
a) Na pewnej uczelni studenci musieli rozwiązać zadanie. Zmierzono im czas (w minutach). Oto wyniki: 3, 5, 5, 6, 5, 6, 7, 7, 6, 6, 2, 3, 4, 9, 5. Wyznacz dominantę.

Najpierw posortujemy w kolejności niemalejącej.
2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 9
Przedstawię dane również za pomocą tabeli.



Czas rozwiązania zadania


Liczba studentów, którzy uzyskali taki czas


2


1


3


2


4


1


5


4


6


4


7


2


9


1



Moda: 5 oraz 6.
W tym przypadku sytuacja jest inna. Mamy dwie mody, czy jest to możliwe? Oczywiście, że tak. Jeżeli mamy takie zadanie do rozwiązania, to jako odpowiedź zapisujemy tyle dominant, ile występuje w danych. Czasami zdarza się, że w danych występują nawet 3 mody, a nawet więcej.

b) Na pewnej uczelni studenci robili doświadczenie fizyczne. Każdy student został nagrodzony punktami. Oto wyniki:



Liczba punktów


Liczba studentów, którzy uzyskali tyle punktów


5


3


10


3


15


3


20


3


25


3


30


3


35


3



W takiej wyjątkowej sytuacji nie ma mody, ponieważ każda wartość występuje taką samą liczbę razy. Właśnie taką odpowiedź powinniśmy zapisać jako odpowiedź.

Przykład 4
W poniższej tabeli przedstawione są rodzaje oraz liczba pieczywa sprzedanego przez pewną piekarnię w weekend. Wyznacz dominantę.


Liczba sprzedanego pieczywa


Rodzaj sprzedanego pieczywa


150


pączek


100


rogalik


10


cebularz


80


jagodzianka


10


bułka z jabłkiem


80


bułka z serem



Ten przykład jest idealnym zobrazowaniem, do czego służy moda. W takim przypadku obliczenie średniej arytmetycznej czy innej miary nie pomoże przeanalizować poprawnie tych danych. Na pomoc przychodzi nam dominanta.
Moglibyśmy stwierdzić, że najczęściej występuje 80, bo dwa razy sprzedano po 80 jakichś bułek. W tym przypadku nie będzie to jednak prawda. Dominantą w tym przypadku będą pączki, ponieważ one zostały sprzedane najwięcej razy.
Jeżeli ktoś jeszcze nie rozumie o co chodzi, spokojnie, już tłumaczę. Zapiszmy nasze dane nieco inaczej i w nieco okrojonej wersji.
pączek, pączek, pączek, pączek, cebularz, jagodzianka, jagodzianka, cebularz
W takim przypadku co będzie modalną? Oczywiście, że pączek, ponieważ występuje on najwięcej razy. Czasami warto pomyśleć w inny, logiczny sposób, ponieważ pomoże nam to zrozumieć konkretne zadanie.

Przykład 5
Dany jest szereg przedziałowy, który przedstawia wydatki na obiady w trakcie pracy. Wyznacz modę.




Wydatki na obiad w trakcie pracy w złotych


x_i


Liczba osób


n_i


10-20


10


20-30


40


30-40


30


40-50


20


50-60


25


70-80


13


80-90


10



Najpierw musimy znaleźć, który przedział jest najliczniejszy. 40 osób wydaje 20-30 złotych. Jest to przedział najliczniejszy. Ale czy to jest już odpowiedź na nasze pytanie? Nie, ponieważ jest możliwe obliczenie konkretnej wartości. Wprowadzę teraz wzór na modalną w szeregu przedziałowym.

Na początku mogą nas przerażać te literki, symbole i cały wzór, ale wytłumaczę, co jest czym w tym wzorze. Od razu przy okazji napiszę, jakie wartości będą to u nas.
Mo to oczywiście oznaczenie mody, dominanty, modalnej.
x0 to dolna granica najliczniejszego przedziału, w naszym przypadku jest to 20.
nd to liczebność najliczniejszego przedziału, w naszym przypadku jest to 40.
nd-1 to liczebność przedziału, który jest poprzednim przed przedziałem najliczniejszym, w naszym przypadku jest to 10.
nd+1 to liczebność przedziału, który jest kolejnym za przedziałem najliczniejszym, w naszym przypadku jest to 30.
b jest to rozpiętość przedziałów, obliczamy na przykład 90 – 80 = 10.

Dla ułatwienia zaznaczyłam kolorami:
kolor czerwony – przedział poprzedzający najliczniejszy przedział nd-1
kolor zielony – przedział najliczniejszy nd
kolor fioletowy – przedział następujący po przedziale najliczniejszym nd+1



Wydatki na obiad w trakcie pracy 


x_i


Liczba osób


n_i


10-20


10


20-30


40


30-40


30


40-50


20


50-60


25


70-80


13


80-90


10


Skoro mamy już rozpisane nasze dane, nie pozostało nic innego niż wstawić je do wzoru na modę.

Ważna informacja!
Jeżeli liczymy modalną z tego wzoru, to w wyniku powinniśmy otrzymać wartość z przedziału najliczniejszego.
Czyli powinniśmy otrzymać wartość, która jest nie mniejsza niż 20 oraz nie większa niż 30. Jak widzimy, 27,5 jest w tym przedziale. Jeżeli otrzymalibyśmy na przykład wynik 55, to znaczy, że źle odczytaliśmy dane lub dokonaliśmy błędu w obliczeniach. W takiej sytuacji warto zweryfikować swój wynik, sprawdzić obliczenia oraz dane.

Przykład 6
Dany jest szereg przedziałowy, który przedstawia liczbę punktów uzyskanych na egzaminie. Wyznacz modę.




Liczba uzyskanych punktów


x_i


Liczba osób


n_i


10-20


12


20-30


20


30-40


32


40-50


34


50-60


20


70-80


14


80-90


50



Ten przypadek jest inny, ale jest ciekawy. Wiemy, że modalna leży w przedziale 80-90, ale czy da się obliczyć konkretną wartość? Spójrzmy na wzór jeszcze raz:
Mamy wszystkie dane oprócz liczebności kolejnego przedziału, ponieważ nasz najliczniejszy przedział jest ostatni, a za nim nie ma już kolejnego. W tym przypadku niemożliwym jest obliczyć dominanty. Jeżeli najliczniejszym przedziałem byłby przedział pierwszy, to również nie możemy wyznaczyć dominanty.

Przykład 7
Pan Ryszard prowadzi codzienne obserwacje temperatury powietrza. Zanotował temperaturę kilkunastu dni w maju w 2021 roku, oto jego rezultaty (w stopniach Celsjusza): 18, 20, 15, 23, 24, 22, 23, 22, 24, 25, 22, 21, 22, 23, 24, 19. Wyznacz modę, medianę oraz średnią arytmetyczną. Przeanalizuj wyniki.

Najpierw zaczniemy od uszeregowania naszych danych w kolejności niemalejącej.
Oto nasze posortowane dane: 15, 18, 19, 20, 21, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 25.
Rozpocznijmy od wyznaczenia mody, ponieważ bardzo dobrze wiemy już, jak to zrobić.
Najczęściej w naszych danych występuje temperatura 22 stopnie.

Następnie spróbujmy wyznaczyć medianę. Mediana jest to wartość środkowa w ułożonych w kolejności niemalejącej danych. Jeżeli liczba wyników jest nieparzysta, to na środku będziemy mieli tylko jedną liczbę, natomiast w przypadku, gdy będziemy mieli parzystą liczbę wyników, to wtedy wyciągamy średnią arytmetyczną z dwóch środkowych liczb. Medianę oznaczamy symbolem Me.
Posortowane dane: 15, 18, 19, 20, 21, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 25.
W naszym przypadku mediana wynosi 22 stopnie.

Średnia arytmetyczna jest nam wszystkim bardzo dobrze znana. Należy dodać wszystkie n-liczb, a następnie podzielić je przez n.

=

W tym przypadku trzy nasze miary wyszły niemalże identyczne. Mediana oraz moda są sobie równie, natomiast średnia arytmetyczna jest jedynie o 0,3 mniejsza niż dominanta.

Przykład 8
W pewnym sklepie z elektroniką pracuje 6 osób. 4 osoby to sprzedawcy, których zarobki wynoszą 2000zł. W firmie jest jeden kierownik, który zarabia 15000zł oraz jeden zastępca kierownika, który zarabia 12000zł. Wyznacz modę.

Zapiszmy nasze dane w szeregu prostym: 2000, 2000, 2000, 2000, 12000, 15000.
Modą oczywiście jest 2000zł, ponieważ właśnie ta wartość występuje najczęściej i „dominuje”.

Policzmy dla porównania średnią arytmetyczną.

Porównajmy więc naszą modę oraz średnią arytmetyczną. Załóżmy, że widzimy ogłoszenie z oferowaną pracą. W ogłoszeniu mamy informację, że średnie zarobki w tej firmie wynoszą 5833 złote. Oczywiście jest to prawda, ale jeżeli aplikujemy na stanowisko sprzedawcy, to jedyne co możemy zrobić, to pomarzyć o takich zarobkach. W przypadku podawania wynagrodzenia za wykonywaną pracę bardziej niż wspomniana średnia arytmetyczna sprawdza się dominanta. Jeżeli będzie podane, że najczęstsze zarobki to 2000zł, to bardziej obrazuje faktyczne zarobki w tej firmie. Właśnie takie jest praktyczne zastosowanie naszej dominanty w codziennym życiu.

Często są sondaże, gdzie wybrana próba jest pytana o różne fakty. Jako przykład możemy przytoczyć sondaż o ulubionym kolorze. Następnie w gazetach mogą być umieszczane wyniki takiego sondażu. Można zrobić na podstawie wyników wykresy oraz policzyć miary statystyczne.
Nie można obliczyć średniej z kolorów, natomiast można wyznaczyć dominantę.
Przykładowe wyniki sondażu:


Ulubiony kolor


Liczba osób


zielony


90


czerwony


70


niebieski


150


żółty


10


różowy


60


czarny


70


Z takich wyników można powiedzieć, że ulubionym kolorem największej liczby osób jest kolor niebieski.

Mam nadzieję, że moje opracowanie zawiera wyczerpujące informacje o dominancie oraz dzięki mojemu opracowaniu każdy zrozumie czym jest tytułowa moda.

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
To top