Współczynnik kierunkowy

Jeśli mamy do czynienia z równaniem kierunkowym prostej: to współczynnik występujący w tym wzorze nazywamy współczynnikiem kierunkowym. Współczynnik kierunkowy określa kąt nachylenia prostej względem osi OX i jest on równy wartości funkcji tangens dla tego kąta.

Jeśli współczynnik kierunkowy jest większy od zera to kąt oraz wówczas funkcja liniowa jest funkcją rosnącą:

Jeśli współczynnik kierunkowy jest mniejszy od zera to kąt wówczas funkcja liniowa jest funkcją malejącą:

’
Jeśli współczynnik kierunkowy prostej jest równy zero to funkcja liniowa jest funkcją stałą.

Ćwiczenie 1: Podaj wartość współczynnika kierunkowego zadanej prostej:
a)

Rozwiązanie:

b)

Rozwiązanie:

c)

Rozwiązanie:

d)

Rozwiązanie:

Ćwiczenie 2: Określ monotoniczność funkcji określonej wzorem:
a)

Rozwiązanie:

Skoro: >
więc podana funkcji liniowa jest funkcją rosnąca.

b)

Rozwiązanie:
a=
Skoro: <
więc podana funkcji liniowa jest funkcją malejąca.

c)

Rozwiązanie:

więc podana funkcji liniowa jest funkcją malejąca.

d)

Rozwiązanie:

więc podana funkcji liniowa jest funkcją stałą

Jeśli prosta przechodzi przez dwa punkty: punkt oraz punkt oraz to współczynniki kierunkowy tej prostej możemy wyznaczyć z poniższego wzoru:

Przykład 1: Dane są dwa punkty:  należące do wykresu funkcji liniowej. Wyznacz wzór tej funkcji.

Przykład 2: Dane są dwa punkty: należące do wykresu funkcji liniowej. Wyznacz wzór tej funkcji.

Ćwiczenie 3: Dane są dwa punkty: należące do wykresu funkcji liniowej. Wyznacz wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Ćwiczenie 4: Dane są dwa punkty: należące do wykresu funkcji liniowej. Wyznacz wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Postać ogólna prostej:
Jeśli prosta dana jest w postaci ogólnej to współczynnik kierunkowy tej prostej możemy wyznaczyć korzystając ze wzoru

lub przekształcamy postać ogólną do postaci kierunkowej oraz z niej odczytujemy współczynnik kierunkowy.

Ćwiczenie: Podaj wartość współczynnik kierunkowego prostej zadane w postaci ogólnej gdy:
a)
b)

Rozwiązanie:
Ad. a)
Ad. b)

WSPÓŁCZYNNIK KIERÓNKOWY I RÓNOLEGŁOŚĆ PROSTYCH

Twierdzenie: Proste : oraz będące wykresami funkcji liniowych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są sobie równe tzn. gdy spełniony jest warunek:

Przykład 1: Dane są dwie proste: prosta dana w postaci ogólnej oraz prosta dana w postaci kierunkowej czy podane proste są równoległe ?

Przekształcamy równanie prostej danej w postaci ogólnej:



stad współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy tj.: .

Jeśli chodzi o drugą prostą to jej współczynnik kierunkowy jest równy tj.:.

Zapisujemy wniosek: Podane proste nie są prostymi równoległymi ponieważ ich współczynniki kierunkowe nie są sobie równe.

Przykład 2: Dane są dwie proste: prosta dana w postaci ogólnej oraz prosta dana w postaci kierunkowej
czy podane proste są równoległe ?

Przekształcamy równanie prostej danej w postaci ogólnej:




stad współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy tj.:
Jeśli chodzi o drugą prostą to jej współczynnik kierunkowy jest równy tj.:

Zapisujemy wniosek: Podane proste są prostymi równoległymi ponieważ ich współczynniki kierunkowe są sobie równe.

Ćwiczenie: Czy podane pary prostych są równoległe ?
a) oraz
b) oraz

Rozwiązanie:
Ad. a) Nie ( )
Ad. b) Tak ()

WSPÓŁCZYNNIK KIERÓNKOWY I PROSTOPADŁOŚĆ PROSTYCH

Twierdzenie: Proste oraz będące wykresami funkcji liniowych są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są przeciwne i odwrotne tzn. gdy spełniony jest warunek:

Uwaga: Warunek jest równoważny warunkowi

Przykład: Uzasadnimy że prosta oraz prosta są prostopadłe.

Widzimy że: oraz
Wyznaczmy wartość iloczynu :

Więc podane proste są prostopadłe.

Ćwiczenie: Czy podane proste są prostymi prostopadłymi?

a) oraz
b) oraz

Rozwiązanie:
Ad. a)
Tak, ponieważ:
Ad. b)
Tak, ponieważ: