Pole trapezu

POLE TRAPEZU
Wielokąt:
Wielokąt, który nazywamy też wielobokiem jest figurą płaską, czyli dwuwymiarową. Figurę tą ogranicza linia łamana, czyli ciąg odcinków następujących po sobie. Obwód tej łamanej jest równy obwodowi danego wielokąta, a jej boki są również jego bokami. Wierzchołki danej łamanej nazywa się wierzchołkami wielokąta. Warto zauważyć, że każdy wielokąt posiada taką samą liczbę boków, wierzchołków i kątów wewnętrznych. Wzór na sumę miar kątów wewnętrznych danego wielokąta to:
(n – 2)*180°, gdzie n jest liczbą boków tego wielokąta.
Przekątną wielokąta nazywamy odcinek, który łączy dwa kąty tego wielokąta nienależący do boku.
Podział wielokątów:
Wielokąty dzielimy ze względu na miarę kątów na dwa rodzaje:
wielokąty wypukłe, to takie, których wszystkie kąty mają miary mniejsze niż 180°
wielokąty wklęsłe, to takie, w których co najmniej jeden kąt ma miarę większą niż 180°
Wielokąty ze względu na ilość boków i kątów dzielimy na nieskończoną liczbę rodzajów. Taki wielokąt nazywamy
n-kątem, jeśli n jest liczbą boków tego wielokąta. Najczęstszymi wielokątami są trójkąty i czworokąty, czyli wielokąty które mają trzy lub cztery boki.
Wielokąt foremny:
Wielokąt foremny jest takim wielokątem, którego wszystkie boki są równej długości, a wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary. Wszystkie wielokąty foremne są wypukłe. Wielokąty foremne dzielimy ze względu na ilość boków. Wielokąt foremny posiadający n boków nazywamy n-kątem foremnym. Trójkąt foremny często nazywamy trójkątem równobocznym, a czworokąt foremny można nazwać kwadratem. Dowolne dwa wielokąty foremne o takiej samej liczbie boków nazywamy wielokątami podobnymi, czyli jeden z nich jest powiększeniem lub pomniejszeniem drugiego.
Miarę kąta wewnętrznego dowolnego n-kąta foremnego obliczamy ze wzoru:
(n – 2)*180° : n, czyli dzielimy sumę miar kątów wewnętrznych danego wielokąta przez ilość jego boków.
Obwód wielokąta foremnego obliczamy ze wzoru:
L = n*a, gdzie n jest ilością boków, natomiast a jest długością jednego boku danego wielokąta foremnego.
Ilość przekątnych n-kąta foremnego oblicza się ze wzoru:
n(n – 3) : 2
Okrąg można wpisać i opisać na każdym wielokącie foremnym.
Każdy n-kąt foremny można podzielić na n przystających trójkątów równoramiennych, których podstawą jest bok tego wielokąta, a wysokością opadającą na tą podstawę jest promień okręgu opisanego na tym wielokącie. Wynika z tego, że jeśli pole trójkąta obliczamy ze wzoru:
P = a*h : 2, gdzie a to podstawa trójkąta, a h jest wysokością opadającą na ta podstawę.
Wtedy pole n-kąta możemy obliczyć ze wzoru:
P = n*(a*h : 2), gdzie a jest bokiem danego wielokąta.

Czworokąt:
Czworokąt jest jednym z wielokątów. Jest on wielokątem posiadającym cztery boki, cztery wierzchołki i cztery kąty. Posiada on również dwie przekątne, a suma miar jego kątów wewnętrznych wynosi 360°. Czworokąt można wpisać w okrąg, gdy sumy długości dwóch przeciwległych boków są sobie równe. Czworokąt można opisać na okręgu, kiedy sumy miar przeciwległych kątów wynoszą 180°. Czworokątem foremnym jest kwadrat.
Podział czworokątów:
Czworokąty można podzielić na trapezoidy, czyli czworokąty nieposiadające boków równoległych i trapezy, czyli czworokąty, które posiadają co najmniej jedna parę boków równoległych.
Szczególnym przypadkiem trapezoidów są deltoidy, czyli takie trapezoidy, które posiadają dwie pary boków sąsiednich równych.
Natomiast szczególnym przypadkiem trapezów są równoległoboki, czyli trapezy mające dwie pary boków równoległych. Do równoległoboków wrócimy jeszcze w późniejszej części tej pracy.
Jednym z równoległoboków jest romb, czyli taki równoległobok, którego wszystkie boki są równej długości. Drugim rodzajem równoległoboków są prostokąty, czyli równoległoboki, których wszystkie kąty są równej miary.
Z połączenia prostokąta i rombu powstaje nam kwadrat, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty posiadające równą miarą.
Deltoid:
Deltoid to figura, która ma dwie pary równych boków sąsiednich. Przekątna deltoidu jest jego osią symetrii. Oś symetrii jest prostą, która dzieli daną figurę na dwie przystające części. Dłuższa przekątna dzieli dany deltoid na dwa trójkąty przystające, a krótsza dzieli deltoid wypukły na dwa trójkąty równoramienne. Dwa kąty, których ramiona są różnej długości mają równą miarę.
Wiedząc, że dłuższa przekątna dzieli deltoid na dwa przystające trójkąty, a połowa krótszej przekątnej jest wysokością opadającą na dłuższą przekątną możemy obliczyć pole deltoidu dodając pola tych dwóch przystających trójkątów:
P = 2*Pt, podstawiamy wzór na pole trójkąta;
P = 2(a*h : 2), skracamy wyrazy podobne;
P = a*h, podstawiamy długości przekątnych deltoidu;
P = d1*(d2 : 2), gdzie d1 jest dłuższą przekątną, a d2 jest krótszą przekątną tego deltoidu;
P = d1*d2 : 2, właśnie wyprowadziliśmy wzór na pole dowolnego deltoidu;
Okrąg można wpisać w każdy deltoid wypukły.
Romb:
Romb jest czworokątem posiadającym wszystkie boki równej długości. Jego przekątne przecinają się w połowie pod kątem prostym i dzielą dany romb na cztery przystające trójkąty prostokątne. Każdy romb jest wypukły i posiada dwie pary kątów o łącznej mierze 180°. Każda przekątna rombu jest równocześnie dwusieczną kątów z których wychodzi oraz osią symetrii tego rombu. Każdy romb ma środek symetrii leżący w punkcie przecięcia przekątnych.
Pole powierzchni rombu liczymy ze wzoru:
P = a*h, gdzie a jest bokiem rombu, a h jest długością jego wysokości.
P = d1*d2 : 2, gdzie d1 i d2 są przekątnymi danego rombu.
Prostokąt:
Prostokąt jak sama nazwa wskazuje jest czworokątem posiadającym cztery kąty proste. Każdy prostokąt ma co najmniej dwie osie symetrii i środek symetrii. Przekątne w prostokącie są sobie równe i przecinają się w połowie. Równoległe boki prostokąta są równe. Przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne. Wiedząc, że wzór na pole trójkąta prostokątnego wygląda następująco:
P = a*b : 2, gdzie a i b są przyprostokątnymi danego trójkąta, czyli bokami wychodzącymi z kąta prostego;
Możemy obliczyć pole prostokąta dodając pola tych dwóch trójkątów prostokątnych:
P = 2*Pt, podstawiamy wzór na pole trójkąta prostokątnego:
P = 2(ab : 2), skracamy wyrazy podobne;
P = a*b, gdzie a i b są bokami danego prostokąta.
Obwód prostokąta liczymy ze wzoru:
P = 2(a + b) = 2a + 2b, gdzie a i b są długościami jego boków.
Twierdzenie Pitagorasa dotyczy trójkątów prostokątnych, a jego treść to:
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Natomiast wzór na twierdzenie Pitagorasa to:
a2 + b2 = c2, gdzie a i b to przyprostokątne, a c jest przeciwprostokątną danego trójkąta prostokątnego.
Z twierdzenia Pitagorasa można obliczyć długość przekątnej trapezu:
a2 + b2 = c2, podstawiamy długości boków i przekątnej prostokąta;
d2 = a2 + b2, wyciągamy pierwiastek kwadratowy;
d = √(a2 + b2)
Kwadrat:
Kwadrat jest czworokątem o czterech bokach równych i czterech kątach prostych. Jest on jedynym czworokątem foremnym. Przekątne kwadratu przecinają się w połowie pod kątem prostym, są równej długości, a punkt ich przecięcia jest środkiem symetrii kwadratu. Każda przekątna kwadratu jest również dwusieczną dwóch kątów tego kwadratu z których wychodzi. Każde dwa kwadraty są przystające. Dowolny kwadrat posiada cztery osie symetrii, dwie przekątne i dwie symetralne boków. Te osie symetrii dzielą dany kwadrat na osiem przystających trójkątów prostokątnych równoramiennych.
Obwód kwadratu obliczamy dodając długości wszystkich jego boków:
L = a + a + a + a = 4a, gdzie a jest długością boku tego kwadratu;
Pole tej figury natomiast obliczamy mnożąc długości dwóch jego prostopadłych boków, czyli:
P = a*a = a2, gdzie a jest długością boku.
Długość przekątnej możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
a2 + b2 = c2, podstawiamy dane;
a2 + a2 = d2, gdzie d jest długością przekątnej;
d2 = 2a2, wyciągamy pierwiastek;
d = a√2
Równoległobok:
Natomiast równoległobok jest takim czworokątem, który posiada dwie pary boków równoległych. Każde dwa przeciwległe boki są równej długości. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie i są osiami symetrii danej figury. Przeciwległe kąty równoległoboku są równej długości, a suma kątów sąsiednich jest równa 180°.
Obwód równoległoboku obliczamy ze wzoru:
L = 2(a + b) = 2a + 2b, gdzie a i b to długości sąsiednich boków równoległoboku.
Wiemy, że przekątna równoległoboku dzieli go na dwa przystające trójkąty. Trójkąty te mają podstawę, która jest jednocześnie podstawą równoległoboku, a wysokość tych trójkątów jest jednocześnie wysokością danego równoległoboku. Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:
P = a*h : 2, gdzie a jest podstawą, a h jest wysokością opadającą na tą podstawę.
Wynika z tego, że pole trapezu obliczymy dodając pola tych dwóch trójkątów:
P = 2*Pt, podstawiamy wzór na pole trójkąta;
P = 2(a*h : 2), skracamy wyrazy podobne;
P = a*h, gdzie a jest podstawą, a h to wysokość danego równoległoboku.
Trapez:
Trapez jest czworokątem posiadającym jedną lub dwie pary boków równoległych. Każdy trapez można podzielić przekątną na dwa trójkąty, lub wysokościami na prostokąt i od 0 do 2 trójkątów prostokątnych. Wybraną parę boków równoległych nazywamy podstawami, a pozostałe dwa boki wtedy są ramionami. Wysokość trapezu jest odcinkiem łączącym obie podstawy. Suma miar kątów wewnętrznych trapezu leżących przy jednym ramieniu jest równa 180°.
Linią środkową trapezu nazywamy odcinek łączący środki jego ramion, który jest równoległy do podstaw tego trapezu. Dodatkowo linia środkowa trapezu jest równa średniej arytmetycznej jego długości, czyli:
m = (a + b) : 2, gdzie a i b to długości podstaw tego trapezu.
Szczególnymi przypadkami trapezu są:
trapez równoramienny, to trapez którego ramiona są równej długości. Jeśli trapez równoramienny nie jest równoległobokiem to jego przekątne są równej długości, kąty przy jednej podstawie są sobie równe, a suma dwóch kątów wewnętrznych przeciwległych wynosi 180°. Trapez równoramienny niebędący równoległobokiem możemy też wpisać w okrąg, a jego wysokości dzielą go na prostokąt i dwa przystające trójkąty prostokątne. Każdy trapez równoramienny niebędący równoległobokiem ma też co najmniej jedną oś symetrii, która przechodzi przez środki jego podstaw.
trapez prostokątny, jest takim trapezem, który posiada dwa lub cztery kąty proste, czyli wynoszące 90°. Bok trapezu, przy którym są kąty proste jest równy długości wysokości danego trapezu. Trapez posiadający cztery kąty proste jest prostokątem, natomiast trapez posiadający dwa kąty proste można podzielić wysokością niebędącą jego bokiem na prostokąt i jeden trójkąt prostokątny.

Trapez prostokątny:
Na rysunku obok narysowany jest trapez prostokątny z oznaczeniami. Odcinek AC oznaczony jako d1 jest jego dłuższą przekątną, a odcinek BD oznaczony jako d2 jest krótszą przekątną. Odcinki AB i DE są równej długości i są oznaczone jako h, ponieważ są to wysokości tego trapezu prostokątnego, równocześnie odcinek AB jest jednym z jego boków. Drugie ramię tego trapezu to odcinek CD oznaczony jako c, natomiast pozostałe dwa boki to podstawy tego trapezu, dłuższa podstawa – odcinek BC oznaczony a i krótsza podstawa, którą jest odcinek AD oznaczony jako b. Ostatnim oznaczonym odcinkiem jest odcinek EC oznaczony jako a – b, więc jest to różnica długości podstaw tego trapezu prostokątnego.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość h i c, ponieważ są to boki trójkąta prostokątnego CDE:
a2 + b2 = c2, podstawiamy długości boków trójkąta CDE;
|DE|2 + |CE|2 =|CD|2
h2 + (a – b)2 = c2, odejmujemy h2;
c2 – h2 = (a – b)2, odejmujemy c2;
– h2 = – c2 + (a – b)2, mnożymy razy – 1;
h2 = c2 – (a – b)2, wyciągamy pierwiastek;
h = √[c2 – (a – b)2]
Teraz korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy również obliczyć dłuższą przekątną tego trapezu, ponieważ jest ona przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego ABC, wtedy:
a2 + b2 = c2, podstawiamy długości boków trójkąta ABC;
|AB|2 + |BC|2 = |AC|2
h2 + a2 = d12, wyciągamy pierwiastek;
d1 = √(h2 + a2), podstawiamy pod h;
d1 = √[c2 – (a – b)2 + a2], podstawiamy wzór skróconego mnożenia: kwadrat różnicy;
d1 = √[c2 – (a2 – 2ab + b2) + a2], pozbywamy się nawiasu;
d1 = √(c2 – a2 + 2ab – b2 + a2), skracamy wyrazy podobne;
d1 = √(c2 + 2ab – b2)
Następnie możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa krótszą przekątną tego trapezu, ponieważ jest ona przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego ABD, wtedy:
a2 + b2 = c2, podstawiamy długości boków trójkąta ABD;
|AB|2 + |AD|2 = |BD|2
h2 + b2 = d22, wyciągamy pierwiastek;
d2 = √(h2 + b2), podstawiamy pod h;
d2 = √[c2 – (a – b)2 + b2], podstawiamy wzór skróconego mnożenia: kwadrat różnicy;
d2 = √[c2 – (a2 – 2ab + b2) + b2], pozbywamy się nawiasu;
d2 = √(c2 – a2 + 2ab – b2 + b2), skracamy wyrazy podobne;
d2 = √(c2 + 2ab – a2)

Wzór na pole trapezu:
Trapez możemy podzielić na prostokąt do którego może być doklejony jeden lub dwa trójkąty prostokątne. Drugim sposobem jego podziału jest podział na dwa trójkąty. Wzór na pole trójkąta oblicza się mnożąc jego podstawę z wysokością, która na niego opada i dzieląc przez 2:
P = a*h : 2
Na rysunku jest przedstawiony przykładowy trapez. Jako h oznaczona jest jego wysokość, która równocześnie jest wysokością obydwu trójkątów. Jako a i b oznaczone są podstawy trapezu, które są podstawami dwóch trójkątów. Wtedy pole tego trapezu obliczymy dodając pola tych dwóch trójkątów:
P = P1 + P2
P = (a*h : 2) + (b*h : 2)
P = (a + b)*h : 2, właśnie wyprowadziliśmy ogólny wzór na pole trapezu.
Można też do tego wzoru podstawić linię środkową trapezu:
P = m*h, gdzie m to linia środkowa.

przykład 1
Oblicz pole trapezu, którego wysokość jest równa 13 cm, a jego linia środkowa jest 3 razy dłuższa.
Rozwiązanie:
Najpierw obliczamy długość linii środkowej tego trapezu:
m = 3*13 = 39 cm
P = m*h, podstawiamy dane;
P = 13*39 cm
P = 507 cm2 = 5,07 dm2
odp. Pole tego trapezu wynosi 5,07 dm2.

przykład 2
Oblicz długość linii środkowej trapezu, wiedząc że długości jego podstaw wynoszą 10 cm i 3,4 dm.
Rozwiązanie:
m = (a + b) : 2
m = (10 cm + 3,4 dm) : 2
m = (10 cm + 34 cm) : 2
m = 44 cm : 2
m = 22 cm = 2,2 dm
odp. Długość linii środkowej tego trapezu wynosi 22 centymetry.