Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy – jest to działanie dwuargumentowe, które przyporządkowuje parze wektorów przestrzeni trójwymiarowej pewien wektor należący do tej przestrzeni.

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów, to takie działanie, w wyniku którego powstaje nowy wektor, którego długość, czyli wartość jest równa iloczynowi długości dwóch wektorów i sinusa kąta zawartego pomiędzy tymi wektorami. Iloczynem wektorowym wektora i wektora nazywamy taki wektor którego:
1 . kierunek jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory i , czyli do płaszczyzny, na której leżą te wektory
2 . zwrot nowego wektora określany jest przez regułę prawej ręki lub reguły śruby prawoskrętnej

* Wektor – to palec wskazujący
*Wektor – to palec środkowy
*Wektor – to kciuk

Wektory przedstawiamy na rysunkach w postaci strzałki, pod którą znajduje się nazwa wektora w postaci małej litery. Prosta, na której leży wektor wyznacza jego kierunek, zaś strzałka wskazuje jego zwrot.

3 . długość wektora jest równa
4 . w iloczynie wektorowym ogromne znaczenie ma kolejność mnożenia, ponieważ nie równa się ; iloczyn wektorowy nie jest przemienny
5 . iloczyn wektorowy oznaczamy następująco:

6 . wynikiem iloczynu wektorowego jest zawsze WEKTOR, co zostało zobrazowane na poniższym rysunku:

7 . podstawowy wzór na iloczyn wektorowy, który jest pomocny w rozwiązywaniu zadań z rachunku wektorowego ma postać:

Wektory zostały we wzorze oznaczone pogrubioną czcionką. Dzięki zastosowaniu tego wzoru można wyznaczyć długość iloczynu wektorowego, który jest równy iloczynowi długości dwóch wektorów i sinusowi kąta między nimi.

Własności iloczynu wektorowego:
1 . iloczyn wektorowy nie jest przemienny:

2 . jest rozdzielny względem dodawania:


3 . jest zgodny z mnożeniem przez skalar


4 . tożsamość Jacobiego:

5 . iloczyn wektorowy nie ma własności skracania, ponieważ jeżeli:

Jeżeli zostaną wskazane jakieś wektory i założymy, że : ≠ 0 i ≠ dla których zachodzi równość
Jeżeli więc będą niezależnymi liniowo wektorami i wtedy
≠ 0 oraz:

Dlatego też:

Zadanie:
Oblicz iloczyn wektorowy dwóch wektorów:

Zadanie to rozwiążemy przy pomocy wyznacznika macierzy. Polega to na tym, że:
wektor
wektor
to iloczyn wektorowy wektorów i jest równy:

Rozwiązanie:

=

Odpowiedź:
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów wynosi

Jeżeli wynikiem iloczynu wektorowego, czyli wektora przez wektor,(a→ x b→ ) jest wartość wektora c→ równa iloczynowi wartości wektorów i sinusa kąta między nimi, to oznacza to, że wartość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości pierwszego wektora a→ i długości rzutu drugiego wektora b→ na kierunek prostopadły do pierwszego wektora. Natomiast długość wektora otrzymanego c→ jako iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest równy polu równoległoboku rozpiętego na tych wektorach.

Zdarza się sytuacja, kiedy iloczyn wektorowy jest równy zeru. Dzieje się tak wtedy, gdy wektory wyjściowe są wektorami równoległymi względem siebie lub gdy jeden z wektorów wyjściowych jest wektorem zerowym:
a→ x b→ = 0
Iloczyn wektorowy zapisujemy wzorem, który łatwo zapamiętać, dzięki wyznacznikowemu zapisowi iloczynu wektorów:

Dla powyższego mamy:

Podsumowując powyższe mamy:

Zadanie:
Znajdź wektor c→, który jest iloczynem wektorowym dwóch podanych wektorów:

Rozwiązanie:



Odpowiedź:
Szukanym wektorem c→ jest wektor

Iloczyn wektorowy można zinterpretować graficznie. Długość uzyskanego wektora c w wyniku mnożenia wektorowego wektorów a i b jest ściśle związana z kątem zawartym pomiędzy wektorami. Zapis jest następujący:
|c →|

Przykładowy wynik mnożenia wektorowego oraz wpływ kolejności argumentów operatora mnożenia wektorowego na wynik pokazuje poniższy rysunek:

Zadanie:
Oblicz pole powierzchni równoległoboku, który rozpięty jest na wektorach .
Rozwiązanie:
z definicji iloczynu wektorowego wiadomo, że długość wektora jest równa polu powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b. Najpierw trzeba obliczyć wektor :

Obliczony wektor c→

Następnie należy obliczyć długość wektora c.

Pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach i jest równe

Zadanie:
Oblicz iloczyn wektorowy wiedząc, że wektor wektor a kąt zawarty między wektorami d i e jest równy 60°.

Rozwiązanie:
Wiemy z tablic matematycznych, że cos 60°

Odpowiedź: Iloczyn wektorowy wynosi 6.