Tangens kąta

Tangens to jedna z czterech funkcji trygonometrycznych. Poprzez stworzenie stosunku długości przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie otrzymujemy tangens kąta alfa.

Podsumowując więc, , gdzie a to przyprostokątna naprzeciw kąta, a bok b to przyprostokątna przy kącie.

Aby obliczyć tangens, możemy użyć też poniżej często spotykanych wzorów w trygonometrii. Pierwszy ze wzorów oczywiście możemy poprzekształcać, a więc np. możemy przekształcić w taki sposób, aby po jednej stronie był tangens itd. Tutaj mamy pełną dowolność.

—->

Obydwa wzory możemy udowodnić, bazując na odpowiednio oznaczonych bokach trójkąta prostokątnego.

Jak wiesz, tangens może dotyczyć również kąta rozwartego i większego. W zależności od tego, jaką kąt ma miarę, jaki znak będzie przyjmować dany tangens.

W pierwszej ćwiartce kąt wynosi między 0° a 90°. W drugiej ćwiartce kąty mają miary od 90° do 180°. W trzeciej miary kątów zaczynają się od 180° do 270°. W czwartej ćwiartce miary kątów są między 270°, a 360°.

Typowe zadania z tangensem oraz ich rozwiązania są pokazane poniżej.

ćwiczenie 1
Oblicz tangens kąta alfa.
1

ćwiczenie 2
Oblicz tangens kąta beta.

zadanie 1
Określ, jaką miarę ma kąt ostry alfa wiedząc, że tangens tego kąta wynosi 1.

Aby rozwiązać te zadanie potrzebne będą nam tablice trygonometryczne, bądź też ich znajomość na pamięć. Spójrzmy więc na tablice z wartościami trygonometrycznymi. Szukamy wartości 1 dla tangensa (szukamy w wierszu „tangens” wartości 1). Gdy znajdziemy tę wartość patrzymy, dla jakiego kąta tangens przyjmuje wartość 1 (teraz patrzymy na kolumnę; na jej szczycie jest napisana miara kąta).

Odczytujemy, że

Odpowiedź: Kąt ostry alfa ma miarę 45 stopni.

Teraz czas na zadania, które pokazują nam zastosowanie wiedzy związanej z tangensem. Te zadania są nieco bardziej skomplikowane niż te powyższe.

zadanie 2
Oblicz pole trójkąta prostokątnego. Miarę 30 stopni ma kąt leżący przy przyprostokątnej długości 4.

Rozwiązanie takiego zadania zaczynamy od narysowania rysunku pomocniczego.

Aby obliczyć pole trójkąta prostokątnego będziemy korzystać ze wzoru: . Mamy daną długość boku a. Musimy więc obliczyć długość boku b. Skorzystamy tutaj z funkcji tangens.

zapisujemy równanie

podstawiamy wartość tangensa z tablic

przemnażamy na krzyż

otrzymujemy wynik

a = 4

Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi .

zadanie 3
Podaj pole trapezu prostokątnego o podstawie 6 i 10. Tangens ostrego kąta wynosi 3.

Rozwiązanie takiego zadania zaczynamy oczywiście od narysowania rysunku pomocniczego. Podpisujemy wierzchołki, oraz długości boków. Prowadzimy

Jak widzisz, poprzez poprowadzenie wysokości możemy zobaczyć, że odcinek |AB| = |DC| + |EB| = 10. Tym samym |EB| = |AB| – |DC| = 10 – 6 = 4

Mając tę wiadomość bez problemu możemy obliczyć długość odcinka |CE|. Stosując funkcję tangens, obliczamy ten odcinek.

Dane:
a = |DC| = 6
b = |AB| = 10
h = |CE| = 12

Jak wiesz, wzór na pole trapezu wygląda o tak:

Podstawmy więc nasze wartości do wzoru:

Odpowiedź: Pole trapezu wynosi 96.