Proporcjonalność odwrotna

Sinus:
Powyżej jest trójkąt prostokątny. Sinus α. Jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α, czyli „c” do długości przeciwprostokątnej „b”.
sin α =

Cosinus:
Jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie „α”, czyli długości „a” do długości przeciwprostokątnej „b”.
cos α =

Tangens:
Jest to stosunek długości przyprostokątnej, leżącej naprzeciwko kąta „α”, czyli długości „c”, do długości przyprostokątnej, leżącej przy kącie „α”, czyli długości „a”
tan α =

Cotangens:
Jest to stosunek przyprostokątnej, leżącej obok kąta „α”, czyli długości „a”, do długości przyprostokątnej, leżącej naprzeciwko kąta „α”, czyli długości „c”.
cot α = .

Tabela trygonometryczna:
Tabela przedstawiona poniżej, zawiera informacje o wartościach funkcji trygonometrycznych dla konkretnych ustalonych kątów, o miarach 0°; 30°; 45°; 60°; 90°; 180° funkcje trygonometryczne, to takie, jak sinus, cosinus, tangens, cotangens. Tabela trygonometryczna umożliwia nam odczytanie wartości funkcji trygonometrycznej dla wszystkich kątów. Tablice trygonometryczne, przed wynalezieniem kalkulatorów kieszonkowych, były wykorzystywane do nawigacji, nauki oraz inżynierii. Znak „-” w tabeli oznacza, że wartość funkcji trygonometrycznej nie istnieje.

Teraz przejdę do zadań do których potrzebna będzie tabela trygonometryczna.

Zadanie 1 – korzystanie z funkcji trygonometrycznych i twierdzenia Pitagorasa

Na rysunku powyżej znajduje się trójkąt DEF. Odcinek DF jest równy 8. Kąt DEF jest kątem prostym, a kąt EFD ma miarę 30°. Oblicz na dwa sposoby (wyłącznie za pomocą znajomości zależności długości boków w trójkącie charakterystycznym (o kątach 90°, 30° oraz 60°), która wynika z twierdzenia Pitagorasa, oraz za pomocą tabeli trygonometrycznej) kąt EDF i długości pozostałych boków.

Zadanie 2:
Ile wynosi kąt α, jeżeli cos α wynosi 0,4999 ?

Zadanie 3:
Samolot startował pod kątem 30°. Na jakiej znalazł się wysokości, jeżeli pokonał drogę 100km? Uwaga. Wiadomo, że samolot podczas pokonywania tej drogi, nie zmieniał kierunku lotu.

Odpowiedź 1:
Najpierw obliczę zadanie, korzystając wyłącznie trójkąt charakterystyczny, który wynika z twierdzenia Pitagorasa. Na początku obliczę miarę kąta EDF. Wiem, że suma miar kątów w każdym trójkącie jest równa 180 stopni. Więc, 180°-90°-30°=60°. Kąt EDF jest równy 60°. Teraz obliczę długości innych boków, wykorzystując informację, że Odcinek DF ma długość 8. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że w trójkącie o kątach 90°, 30° oraz 60°, odcinek pomiędzy kątem 60°, a kątem prostym jest równy „a”, odcinek między kątem prostym, a kątem 30° jest równy „a„, a odcinek między kątem 60°, a 30° jest równy „2a”. Więc, jeżeli 2a (odcinek DF) jest równe 8, to a będzie równe 4 (odcinek DE), po prostu podzieliłam wartość 8 na dwa. Kiedy a jest równe 4, to wartość a musi być równa 4 (by uzyskać ten wynik pomnożyłam wartość 4 razy ). Teraz rozwiążę to zadanie drugim sposobem, wykorzystując do tego tabelę trygonometryczną. Jak już obliczyłam wcześniej, kąt EDF będzie równy 60°. Wykorzystam, by obliczyć długości boku funkcję cosinus kąta 60°.
cos 60° = =
DE = 8 * (cos 60°)
DE = 8 * = 4
Odcinek DE jest równy 4. Teraz obliczę odcinek EF z funkcji cotangens kąta 30°.
cot 30° = =
EF = 4 * (cot 30°)
EF = 4 * =
W obu sposobach odpowiedzi są takie same, co oznacza, że zadanie, zostało wykonane poprawnie.

Odpowiedź 2:
By wiedzieć, ile wynosi cosinus kąta α, musimy skorzystać z tabeli trygonometrycznej podanej w innym, sprawdzonym źródle, na przykład wiarygodnej stronie internetowej. Po prostu odczytujemy wartość z tamtej tabeli. A fragment takiej tabelki przedstawię poniżej. Najpierw znajdujemy kolumnę o nazwie „Cos α”, a następnie odnajdujemy wartość przybliżoną do wartości 0,4999, jest to wartość w tym przypadku 0,5. Teraz w tym samym wierszu w kolumnie „α” odczytujemy wartość 60°. Wartość 0,5 była przybliżona do wartości 0,4999, więc w odpowiedzi nie możemy napisać że jest to po prostu 60°, musimy zapisać, że jest to wartość przybliżona do 60°.

Odpowiedź 3:
By obliczyć te zadanie wykorzystam funkcję cosinus kąta 60°. By uprościć rozwiązanie tego zadania, zobrazuję jego treść.

x – wysokość, którą mamy obliczyć.
cos 60° =
x = 100 km * (cos 60°)
x = 100 km * = 50 km.
Można obliczyć to zadanie, wykorzystując do niego trójkąt charakterystyczny, wynikający z twierdzenia Pitagorasa. Wiemy, że w trójkącie charakterystycznym o kątach 90°, 60°, oraz 30°, odcinek pomiędzy kątem 60°, a kątem prostym jest równy „x”, odcinek między kątem prostym, a kątem 30° jest równy „x„, a odcinek między kątem 60°, a 30° jest równy „2x”. Więc w tym przypadku, kiedy „2x” jest równe 100 km, „x” będzie równe 50 km (wartość 100 km podzieliłam przez 2), oraz kiedy „x” jest równe 50 km, to w takim razie „x” będzie równe 50 km. Czyli wysokość będzie równa 50 km, wynik zadania jest taki sam, jak rozwiązywałam to zadanie wykorzystując tabelę trygonometryczną, więc rozwiązanie zadania jest poprawne.