Funkcja homograficzna

Pośród uczniów szkół średnich często możemy spotkać się z określeniem, że funkcja homograficzna to taka trudniejsza postać funkcji wymiernej. Ziarnko prawdy na pewno jest w tym stwierdzeniu.

Hiperbola, a więc wykres funkcji homograficznej jest przesuniętą hiperbolą o wektor (r jest jakąś wartością stałą).

Ogólną postać funkcji homograficznej przedstawiam poniżej:
,
aby taka funkcja istniała, c musi być różne od zera
dziedziną takiej funkcji, a więc zbiorem w jakim jest określona jest:

Spróbujmy teraz razem rozwiązać kilka zadań

zadanie 1
Naszkicuj wykres funkcji, której wzór to:

Rozwiązanie zadania zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Nasz funkcja musi istnieć, dlatego mianownik musi być różny od zera. Pytamy więc, kiedy nasz mianownik się wyzeruje.

Dzięki temu możemy wyznaczyć dziedzinę. Dziedzina funkcji f(x) to

Aby narysować wykres, przekształćmy sobie wzór funkcji do postaci maksymalnie prostej do narysowania.

Z tej postaci odczytujemy, że funkcję przesuwamy o wektor [3, 1]. Jak więc widzisz, element który stał „za ułamkiem” jest drugą współrzędną wektora. Pierwszą współrzędną wektora jest 3.

Przejdźmy do rysowania wykresu. Rysujemy funkcję „podstawową” g(x). U mnie jest to niebieski wykres. Następnie każdy z punktów tej funkcji przesuwamy o wektor [3, 1]. Jeśli chodzi o praktyczne przesuwanie wykresu, to zazwyczaj 3-4 punkty zaznacza się na podstawowym wykresie, dopisuje się wektory, a następnie nowy wykres po prostu rysujemy w ten sam sposób co podstawowy, ale oczywiście w nowym miejscu. Koniec końców, otrzymujemy czerwony wykres.

Jak widzisz, na moim wykresie są zaznaczone takie czarne przerywane proste. Są to asymptoty. Jeśli wyłapaliśmy wektor przesunięcia, to bardzo łatwo odczytać jakie współrzędne mają te asymptoty. Asymptota pionowa to x = p, a więc pierwsza współrzędna wektora przesunięcia to asymptota pionowa. Asymptota pozioma jest zatem równa drugiej współrzędnej wektora przesunięcia, a więc y = q. Asymptoty to proste, które stanowią taki „przesunięty układ współrzędnych”. Jak wiesz, w funkcji wykres dąży do zbliżenia się z wykresem, lecz nigdy nie dochodzi do osi. Tak samo jest z asymptotami. Wykres dąży do dojścia do asymptot, lecz nigdy tak się nie dzieje. Jeśli więc zaznaczyłeś sobie asymptoty, a wykres przeciął ci asymptoty to znaczy, że albo źle są zaznaczone asymptoty, albo źle został narysowany wykres, bądź też źle został przekształcony wzór funkcji, w efekcie czego narysowany został niepoprawny wykres.

Możesz się również spotkać z inną postacią funkcji homograficznej. Ta postać nazywana jest postacią kanoniczną. Wygląda ona następująco:
Tak jak w przypadku postaci ogólnej:
dziedziną tej funkcji jest (powyżej w postaci ogólnej wyjaśniłam, czemu mianownik nie może przyjmować wartości 0).
r musi być różne od 0.

Przećwiczmy powyższą postać funkcji.

zadanie 2
Przekształć podaną funkcję do postaci kanonicznej oraz narysuj jej wykres.

Rozwiązanie takiego zadania zaczynamy od zapisania dziedziny tej funkcji. Oczywiście, mianownik musi być różny od 0, a więc:

Przejdźmy do przekształcania wzoru funkcji:

Odczytujemy, że wektor przesunięcia to: [1, 3]. Oznacza to więc: wykonanie translacji o wektor [1, 3] funkcję

Przejdźmy do szkicowania wykresu.

Jak widzisz, kolejny raz nasze asymptoty są wyznaczone przez wektor przesunięcia.

Przejdźmy teraz do nieco bardziej skomplikowanych rzeczy, a mianowicie do przekształceń wykresów. Tutaj najczęściej będziemy spotykać się z wartością bezwzględną. Zacznijmy może od poniższego przykładu

ćwiczenie 1
Narysujmy sobie wykres funkcji .

Aby to zrobić zauważamy, że możemy narysować funkcję .

Otrzymujemy taki wykres. Następnie wrzucamy wartość bezwzględną na mianownik. W takim razie, wszystko co znajduje się pod osią x przerzucamy symetrycznie powyżej oś x, a więc do 1 i/lub drugiej ćwiartki. Otrzymujemy zielony wykres:

Następnie przesuwamy ten wykres o wektor [1, 0]. Otrzymujemy czerwony wykres.

Z tego wykresu, bądź też z zestawienia tych wykresów poniżej możemy przede wszystkim odczytać równania asymptot, dziedzinę oraz zbiór wartości funkcji.
Asymptota pionowa: x = 1
Asymptota pozioma: y = 0
Dziedzina funkcji:
Zbiór wartości:

ćwiczenie 2
Narysuj wykres funkcji

Jak widzisz, funkcja ta jest dosyć podobna do tej powyżej, jednak w mianowniku tylko „x” jest „obłożony” modułem. Jak więc się pewnie domyślasz wykres ten będzie wyglądać inaczej niż ten powyżej.

Zaczynamy od narysowania naszego podstawowego wykresu.

Następnie przesuwamy cały wykres o obliczony wektor, a więc wykonujemy translację o wektor [1;0]

W tym momencie, wszystkie elementy czy też punkty wykresu znajdujące się na prawo od osi y przerzucamy symetrycznie na lewą stronę od osi y.

Tym samym, otrzymujemy gotowy wykres.
Poniżej przedstawiam zestawienie tworzenia tego wykresu.

Podsumowując więc, zwracaj uwagę podczas przekształceń wykresu na to, czy moduł ma być na samym „x”, czy na całym wyrażeniu. Jeśli modułem jest obłożony cały mianownik, to najpierw wykonujemy przekształcenie z modułem, a później przesunięcie wykresu o wektor. Jeśli jednak sam „x” jest obłożony modułem, to najpierw wykonujemy przesunięcie wykresu o wektor, a później moduł.

Zastanów się, jak wyglądałby w takim razie wykres funkcji . Narysuj go na kartce papieru. Zapisz dziedziną oraz równania asymptot. Sprawdź odpowiedź wracając na początek artykułu. Na samej górze jest zdjęcie, które przedstawia poprawnie narysowany wykres.