Implikacja

Implikacją nazywamy zdanie, gdzie „p” jest poprzednikiem, a „q” jest następnikiem, które brzmi „jeżeli p, to q”.
Symbolem możemy zapisać to: .
p-poprzednik implikacji q- następnik implikacji

Znamy tabelkę implikacji, która jest przedstawiona poniżej i jest zawsze prawdziwa. Są to wszystkie możliwe przypadki implikacji.

Tabelka może nam niewiele mówić i patrząc na nią może nam się wydawać, że implikacja jest czymś trudnym.
Tak naprawdę w implikacji ważne jest, aby myśleć logicznie.
Żeby lepiej to zrozumieć i rozwiać obawy i wątpliwości przedstawmy zastosowanie implikacji na przykładzie z życia codziennego, a następnie na przykładzie nieco bardziej powiązanym z matematyką.
Zacznijmy od przykładu, który uważam za łatwiejszy do zrozumienia, czyli ten z życia codziennego.

Przykład 1.
Mamy zdanie logiczne, którego treść brzmi: .
Rozpiszmy kilka możliwych przypadków.

Przypadek 1.
Z prawdy wynika prawda, więc całe zdanie jest zdaniem prawdziwym.
,,Jaś był grzeczny i otrzymał batona.”
Chłopiec wiedział jak ma się zachowywać, żeby móc dostać słodycz. Był grzeczny, bo taki był postawiony warunek, więc w nagrodę otrzymał batonika.
Obietnic należy zawsze dotrzymywać, więc skoro chłopiec spełnił warunek, to otrzyma obiecanego batona.
Zatem cała implikacja jest prawdziwa.

Przypadek 2.
Z prawdy wynika fałsz, więc całe zdanie jest zdaniem fałszywym.
,,Jaś był grzeczny, ale nie otrzymał batona.”
Chłopiec był grzeczny, ponieważ chciał dostać batonik. On spełnił warunek, jednak obietnica nie została spełniona.
Obietnic należy zawsze dotrzymywać, a tutaj nie została ona dotrzymana.
Cała implikacja jest zatem fałszywa

Przypadek 3.
Z fałszu wynika prawda, więc całe zdanie jest zdaniem prawdziwym.
,,Jaś był niegrzeczny i sam sobie wziął batona.”
Chłopiec wiedział co dostanie, gdy będzie się dobrze zachowywał, jednak nikt nie powiedział mu co się stanie gdy będzie niegrzeczny.
Jaś zatem sam wybrał sobie odpowiednią dla siebie opcję i zabrał batona.
W życiu codziennym jest to przecież możliwe.
Cała implikacja jest zatem prawdziwa.

Przypadek 4.
Z fałszu wynika fałsz, więc całe zdanie jest zdaniem prawdziwym.
,,Jaś był niegrzeczny i nie dostał batona.”
Chłopiec nie spełnił warunku, dzięki któremu otrzymałby nagrodę. Był niegrzeczny, więc nie dostał batonika.
W życiu codziennym tak właśnie powinno się wydarzyć.
Cała implikacja jest zatem prawdziwa.

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki w oparciu o zachowania z życia codziennego.

Pokażmy teraz drugi przykład, który nieco różni się od tego wyżej. Nie jest on przykładem z naszego życia, natomiast jest bardziej powiązany z matematyką, co nie oznacza, że jest on mniej logiczny i trudny do zrozumienia, jednak wymaga od nas pewnych wiadomości z dziedziny matematyki. Są to jednak wiadomości bardzo podstawowe i znajome przez wszystkich z nas.

Przykład 2.
Zamieśćmy ponownie tabelkę implikacji, żebyśmy nie musieli wracać na górę żeby z niej korzystać.

Przypadek 1.
,,Jeżeli , to .”
Sprawdzamy czy poprzednik implikacji jest prawdziwy.

Jest to prawda, więc poprzednik jest prawdziwy.
Sprawdzamy teraz następnik tej implikacji.

Również jest to zdanie prawdziwe, więc następnik tej implikacji jest prawdziwy.
Pierwsza część implikacji jest prawdą oraz druga część implikacji jest prawdą.
Cała implikacja jest prawdziwa .

Przypadek 2.
,,Jeżeli liczba 60 jest liczbą parzystą, to liczba 62 jest liczbą ujemną.”
Sprawdzamy prawdziwość poprzednika implikacji.
Liczba 60 jest liczbą parzystą, ponieważ dzieli się przez 2.
Poprzednik implikacji jest prawdziwy.
Sprawdźmy teraz następnik tej implikacji.
62 nie jest liczbą ujemną, tylko dodatnią.
Następnik implikacji jest fałszywy.
Pierwsza część implikacji jest prawdziwa, druga część implikacji jest fałszywa- cała implikacja jest fałszywa.

Przypadek 3.
Zamieńmy teraz kolejność poprzednika implikacji z następnikiem z przykładu 2.
,,Jeżeli liczba 62 jest liczbą ujemną, to liczba 60 jest liczbą parzystą”
Mamy poprzednik, który mówi nam o tym, że liczba 62 jest ujemna. Jest to fałsz- poprzednik jest fałszywy.
Sprawdźmy zatem poprawność następnika.
Liczba 60 jest liczbą parzystą, więc następnik jest prawdziwy.
Cała implikacja jest prawdziwa ()

Przypadek 4.
,,Jeżeli 1=2, to 2=3.”
Poprzednik implikacji jest fałszywy, ponieważ 1 nie jest równy 2.
Następnik implikacji jest również fałszywy, ponieważ 2 nie równa się 3.
W naszej implikacji poprzednik jest fałszywy i następnik jest fałszywy.
Cała implikacja jest prawdziwa.

Mam nadzieję, że zrozumieliście na czym polega implikacja. Pokazałam Wam dwa przykłady, żeby każdy z Was mógł wybrać ten, który jest bardziej zrozumiały i uważacie, że lepiej się w nim odnajdujecie.
Pamiętajcie, że kluczem do sukcesu jest rozwiązywanie zadań i ćwiczenie zdobytych wiadomości. Im więcej zadań przerobimy tym bardziej będziemy pewniejsi i będziemy mieć lepiej utrwalony materiał.