Pierwiastek z 8

Zajmijmy się na początku interpretacją pierwiastka z 8. Jest to zapis słowny pierwiastka z ośmiu, który wygląda następująco:

Skoro jest to pierwiastek, a liczba podpierwiastkowa jest liczbą złożoną (czyli ma więcej niż dwa dzielniki) to może zanim przedstawię wam jej przybliżenie, to spróbujmy wyciągnąć liczbę przed znak pierwiastka i spróbować obliczyć jego wartość dla iloczynu liczb przed pierwiastkiem oraz liczby podpierwiastkowej, której przybliżenie znamy doskonale:

Czyli nasz pierwiastek z ośmiu ( ) to inaczej , a przybliżoną wartość pierwiastka z dwóch (do dwóch miejsc po przecinku) znamy:

Więc teraz możemy podać przybliżoną wartość pierwiastka z ośmiu

Znamy więc teraz przybliżenie pierwiastka z ośmiu do dwóch miejsc po przecinku, lecz jak wiemy pierwiastki z liczb niewymiernych mają wartość nieskończoną, więc podam wam teraz wartość pierwiastka z ośmiu do kilkunastu miejsc po przecinku:

Teraz, gdy znamy przybliżoną wartość pierwiastka z ośmiu, spróbujmy przedstawić ten pierwiastek ,na osi liczbowej. Może Ci się to wydać wręcz nie możliwe, by określić jego przybliżoną wartość. Ale się mylisz, da się zaznaczyć przybliżoną wartość pierwiastka z ośmiu na osi liczbowej. Zacznijmy- jeśli chcesz to zrób to też samemu, podążając za instrukcją:

1.Narysuj oś liczbową poczynając od zera

2.Zastanów się jak można przedstawić pierwiastek liczby jako długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. W naszym przypadku
Dlatego możemy skorzystać z połowy kwadratu o boku 2; którego przekątna jest równa

3.Przedłuż przeciwprostokątną o tą samą długość we wskazanym kierunku (polecam skorzystać z naszkicowanego tam przystającego trójkąta)

4.nakresl cyrklem koło o średnicy równej dwukrotnej wartości przeciwprostokątnej trójkąta (czyli naszkicuj koło o promieniu równemu przeciwprostokątnej trójkąta)

5.od środka koła (znajdującego się w punkcie zero na osi liczbowej) nakreśl promień wzdłuż osi cyfrowej

6.zmarz naszkicowane koło, trójką i przedłużenie przeciwprostokątnej (o ile je narysowałeś), zostaw tylko promień koła wzdłuż osi liczbowej.

I tak oto zaznaczyłeś pierwiastek z ośmiu na osi liczbowej. Pamiętaj, że tą metodą możesz również zaznaczyć inne pierwiastki, pamiętając tylko o odpowiedniej długości boków trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątna ma długość obliczoną z twierdzenia pitagorasa dla przyprostokątnych. Dodatkowo pamiętaj, że jeśli robisz to z pomocą cyrkla, to możesz pominąć rysowanie koła i przedłużenia, czyli możesz od razu z pomocą cyrkla zaznaczyć łuk od wierzchołka przeciwprostokątnej w trójkącie i po łuku przejść na oś liczbową i tak zaznaczyć przybliżoną wartość.

Teraz czas na zadania:

Zad. 1
Dla wyżej umieszczonej instrukcji, udowodnij, że przekątna kwadratu, a jednocześnie przeciwprostokątna połowy kwadratu (wyznaczonej przez tą przekątną) jest równa .

Dowód: (gdyż jest to zadanie na udowodnienie)
Moglibyśmy przeprowadzić ten dowód z pomącą wzoru na przekątną kwadratu (czyli przeciwprostokątną naszego trójkąta będącego jednocześnie połową kwadratu):

Lecz jest to po części złe rozumowanie, gdyż my mamy udowodnić, że ta zależność zachodzi, więc lepiej by było skorzystać z twierdzenia pitagorasa:

/ (pamiętaj, że niewidoma, którą chcemy uzyskać, musi występować sama i bez dodatkowych znaków i liczb)

c.k.d (co kończy dowód)
Równanie kończymy w ten sposób, gdyż właśnie udowodniliśmy, że przeciwprostokątna (a jednocześnie przekątna kwadratu) trójkąta jest równa pierwiastkowi z ośmiu ( ), a zadanie jest z tych na dowodzenie, że ta zależność zachodzi

Teraz wiecie czym jest pierwiastek z ośmiu oraz znacie jej przybliżenie do kilkunastu miejsc po przecinku, więc nie pozostaje mi nic innego jak napisać:

Koniec