Granice

Granicą funkcji określamy gdy funkcja dąży do xo
Istnieją 3 przypadki :
1. Granica właściwa – gdy jest ona funkcja rzeczywistą
np . g=
2. Granica niewłaściwa – gdy jest nieskończonością.
3. Granica moze w ogóle nie istnieć

Wzór : lim f(x) = g

Twierdzenia :

lim f(x) = a, lim g(x) = b
to:

lim ( f(x) + g(x) ) = a + b
lim ( f(x) g(x) ) = a b
lim ( f(x) : g(x) ) = , b musi być różne od 0

lim = 1
lim
lim (1 + x) = c

Zadania w obliczaniu granicy funkcji:

lim = lim = 2, ponieważ i zmierzają do 0, a dalej wykonując działanie 2 dzieląc przez 1 jest równe 2

lim = lim =

W tym przykładzie także , i zmierzają do 0 i po wykonaniu dzielenia otrzymujemy wynik .

lim = lim =

lim ,
do obliczenia tej granicy użyjemy wzoru a2 – b 2

lim =
lim =
lim = lim = 0

Granica jest równa 0, ponieważ mianownik zmierza do nieskończoności.

lim = lim =

W tym przykładzie i również zmierzają do 0, dlatego wynik po wykonaniu dzielenia jest równy

lim = lim =

lim =
lim = lim = = lim = lim
=

Zadania w obliczaniu granic w punkcie:

Zadanie 1:

lim dla x = 1
Po podstawieniu cyfry 1 do tej granicy wychodzi nam dlatego, aby wyliczyć granicę musimy rozłożyć na czynniki:
lim = = lim =
= -2

Zadanie 2:

lim , dla x = 3, tutaj także rozkładany na czynniki:
lim = = 3

Zadanie 3:

lim , dla x = -1
lim =

Zadanie 4:

lim , dla x = 1
lim = = =

Zadanie 5:

lim , dla x = 4
lim = lim = 4

Zadanie 6:

lim , dla x = 9
lim = =

Zadanie 7:

lim , dla x = 16
lim = = lim

Zadania z użyciem twierdzenia :
lim = 1

Zadanie 1:

lim = lim = ,
sin 5x oraz 5x dążą do 1, po wykonaniu dzielenia otrzymujemy wynik.

Zadanie 2:

lim = lim =
lim = lim = 3
lim = lim =

Twierdże nie jeżeli f(x) = 0,
to ( 1+ f(x)) —> e

Definicja: lim ( 1+ )n= e

e –> jest to liczba niewymierna, która w przybliżeniu wynosi 2,72
e –> podstawa logarytmu naturalnego

Zadanie 1:

lim (1+x) = e
lim (1+ )2x= lim [(1+ ) ]6 = e6
lim(1+ )x=
lim [(1+ ) ] x =
e = e = e2

Zadanie 2:
lim ( 1+ )x =
lim [( 1+ ) ] x =
e = e

Zadanie 3:
lim ( 1+ ) =
lim [ (1+ ) ] =
e lim = e = e

Zadanie 4:
lim (1+ ) =
lim [ ( 1+ ) ] = e = e = e

Mówimy, ze funkcja jest ciągła w punkcie x wtedy i tylko wtedy
lim f(x) = f(xo)

f(x) = 2x-1, x < 1
x2 , x ≥1
Zbadamy ciągłość w xo = 1

lim f(x) = lim 2x-1= 1
lim f(x) = lim x 2= 1
f(1)= 12 = 1

Funkcja w punkcie xo jest ciągła.

f(x) = , x należy do R ` {2}
a , x = 2

Ustal parametr a aby funkcja w punkcie xo = 2 była ciągła:

lim = = 4,
zatem parametr a = 4

A teraz powtórzenie po jednym z przykładów :

1. lim = lim = 2
2. lim = = –
3. lim (1+ ) =
lim [(1+ ) ] =
e = e = e