Liczby urojone

LICZBY UROJONE

Liczba urojona to liczba zespolona, która po podniesieniu do kwadratu daje w wyniku liczbę rzeczywistą ujemną.

Każdą liczbę urojoną możemy zapisać w postaci bi, gdzie:
b- liczba rzeczywista,
i- jednostka urojona spełniająca równanie- i2=-1.

Liczba zespolona- liczba a+bi, gdzie:
a i b to liczby rzeczywiste,
i- jednostka urojona spełniająca równanie- i2=-1,
więc każda suma liczby rzeczywistej z liczbą urojoną jest liczbą zespoloną.

Oznaczanie:

Zbiór liczb urojonych możemy oznaczyć:
I = {…, -3i,…, -2i,…, – i,…, 0i,…, I,…, 2i,…, 3i, …}

Dodawanie i odejmowanie wyimaginowanych:

Liczby urojone możemy dodawać i odejmować od siebie, uzyskując nowe liczby urojone. Na przykład:
6i + 2i = 8i
10i – 7i = -3i

Mnożenie:

Kiedy powstaje iloczyn dwóch liczb urojonych, wynikiem jest liczba rzeczywista. Przykład:
5i x 3i = 15 xi2= 15 x (√ (-1))2= 15 x (-1) = -15.

Jeśli liczbę rzeczywistą pomnożymy przez i, wynikiem będzie liczba urojona, która odpowiada obrotowi o 90 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
i2odpowiada dwóm kolejnym obrotom o 90 stopni, co stanowi dokładnie to samo w przypadku gdybyśmy pomnożyli przez -1, czyli i2= -1. Możemy to zobaczyć na poniższym rysunku:

Rysunek 2. Mnożenie przez jednostkę urojoną i odpowiada obrotom o 90º w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Źródło: wikimedia commons.

Na przykład:
-3 x 4i = -12i
-6 xi = -6i.

Suma liczby rzeczywistej i urojonej

Kiedy dodamy liczbę rzeczywistą do urojonej, w wyniku nie otrzymamy ani liczby rzeczywistej, ani urojonej, jest to nowy typ liczby zwany liczbą zespoloną.

Np. , jeśli X = 4 i Y = 3,5i, wynikiem jest liczba zespolona:
Z = X + Y = 4 + 3,5 w

W tym przypadku nie możemy pogrupować razem części rzeczywistej i urojonej, dlatego liczba zespolona zawsze będzie miała część rzeczywistą i część urojoną.

Przykładowe zadania i rozwiązania:

Ćwiczenie 1.
Znajdź rozwiązania następującego równania:
z2+ 25 = 0

Rozwiązanie:
z2= -25
√ (z2) = √ (-25)
± z = √ (-1 x 25) = √ (-1) √ (25) = ix 5 = 5i

Ćwiczenie 2.
Znajdź rozwiązania następującego równania kwadratowego:
(-2x)2+ 3 = 0

Rozwiązanie:
(-2x)2= -3
√ ((- 2x)2) = √ (-3)
± (-2x) = √ (-1 x 3) = √ (-1) √ (3) = i √ (3) = √3 i
x = ± √3 / 2 w
Wynik:
x = (√3 / 2) i
lub
x = – (√3 / 2) i

Ćwiczenie 3.
Znajdź wartość Z wynikającą z następującego podziału dwóch liczb zespolonych:
Z = (16 – i2) / (4 + i)

Rozwiązanie:
Z = / (4 + i)
Z = (4 – i)

Ciekawostka

Ujemny wynik z podniesienia liczby do kwadratu został rozważony po raz pierwszy
przez Herona z Aleksandrii (starożytny grecki matematyk, fizyk, mechanik,
wynalazca i konstruktor).

Pierwsze pojęcie określające to zjawisko padło z ust Girolama Cardana
(włoski uczony renesansowy: matematyk, astrolog, lekarz i
filozof) i brzmiało ono: „liczby fikcyjne”,

natomiast pojęcie, którym posługujemy się do dziś nadał Kartezjusz
(francuski uczony: matematyk, fizyk i filozof).

Źródła:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_urojone
https://pl.journalmural.com/n-meros-imaginarios-propiedades
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ca/Heron.jpeg
https://pl.wikipedia.org/wiki/Plik:Cardano.jpg
https://pl.wikipedia.org/wiki/Plik:Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg