Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa

Graniastosłup jest wielościanem mającym dwie równoległe do siebie podstawy, które są jednakowymi wielokątami.

Obliczanie objętości graniastosłupa
Żeby obliczyć objętość graniastosłupa musimy pomnożyć pole jego podstawy razy wysokość.

Wzór na objętość graniastosłupa

– objętość graniastosłupa
– pole podstawy graniastosłupa
– wysokość graniastosłupa

Obliczanie pola podstawy graniastosłupa

Pole podstawy graniastosłupa obliczamy za pomocą wzoru na pole figury, która znajduje się w podstawie tego graniastosłupa.

Jeśli w podstawie graniastosłupa będzie znajdował się kwadrat jego pole podstawy obliczymy za pomocą wzoru:

– pole kwadratu
– długość boku kwadratu

Jeśli w podstawie graniastosłupa będzie znajdował się prostokąt do obliczenia jego pola użyjemy wzoru:

– pole prostokąta
– długość jednego boku prostokąta
– długość drugiego boku prostokąta

Jeśli w podstawie graniastosłupa będzie znajdował się trójkąt użyjemy wzoru:

– pole trójkąta
– długość podstawy trójkąta
– wysokość trójkąta

Jeśli w podstawie graniastosłupa będzie znajdował się trójkąt równoboczny do obliczenia jego pola użyjemy wzoru:

– pole trójkąta równobocznego
– długość boku trójkąta równobocznego

Jeśli w podstawie graniastosłupa będzie znajdował się sześciokąt foremny jego pole obliczymy ze wzoru:

– pole sześciokąta
– długość boku sześciokąta

Rodzaje graniastosłupów:
Graniastosłup prosty to taki graniastosłup, którego krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. Ściany boczne graniastosłupa prostego są prostokątami.
Graniastosłup pochyły jest graniastosłupem, którego ściany boczne są równoległobokami.
Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup, który ma wielokąt foremny w podstawie, czyli figurę, której wszystkie boki są takiej samej długości.

Zadanie 1
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, który ma w podstawie kwadrat o boku 4 cm. Wysokość tego graniastosłupa ma długość 6 cm.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pola podstawy tego graniastosłupa. Wiemy, że w jego podstawie znajduje się kwadrat o boku 4 cm, zatem pole podstawy tego graniastosłupa obliczymy podnosząc 4 cm do kwadratu.

Pole podstawy tego graniastosłupa wynosi 16 cm2.

Następnie obliczmy objętość tego graniastosłupa mnożąc jego pole podstawy, które wynosi 16 cm2 razy jego wysokość równą 6 cm.

Odpowiedź: Objętość tego graniastosłupa wynosi 64 cm3.

Zadanie 2
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 5 cm, a wysokość tego graniastosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:
Najpierw obliczamy pole podstawy tego graniastosłupa mnożąc 5 cm razy 5 cm.

Następnie obliczamy długość wysokości tego graniastosłupa. Wiemy, że jego wysokość jest dwa razy dłuższa niż krawędź tego graniastosłupa, która ma długość 5 cm, zatem wysokość możemy obliczyć mnożąc 5 cm razy dwa.

Wiemy już, że pole podstawy tego graniastosłupa wynosi 25 cm2, a jego wysokość ma długość 10 cm, dlatego możemy obliczyć objętość tego graniastosłupa.

Odpowiedź: Objętość tego graniastosłupa wynosi 250 cm3.

Zadanie 3
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego krawędź podstawy ma długość 8 cm, a wysokość tego graniastosłupa wynosi 12 cm.

Rozwiązanie:
Na początek obliczamy pole podstawy tego graniastosłupa. W jego podstawie znajduje się trójkąt równoboczny o boku 8 cm, zatem jego pole obliczymy ze wzoru .

Skoro wiemy już ile wynosi pole podstawy tego graniastosłupa możemy obliczyć jego objętość mnożąc razy 12 cm.

Odpowiedź: Objętość tego graniastosłupa wynosi .

Zadanie 4
Oblicz długość wysokości graniastosłupa, którego pole podstawy wynosi 30 cm2, a objętość tego graniastosłupa jest równa 210 cm3.

Rozwiązanie:
Żeby obliczyć długość wysokości tego graniastosłupa musimy objętość tego graniastosłupa czyli 210 cm3 podzielić przez jego pole podstawy, czyli 30 cm2, ponieważ wiemy, że objętość graniastosłupa jest iloczynem jego pola podstawy i wysokości.

Odpowiedź: Wysokość tego graniastosłupa ma długość 7 cm.

Zadanie 5
Marysia narysowała na kartce papieru dwa graniastosłupy z czego jeden pokolorowała na różowo, a drugi na żółto. Różowy graniastosłup ma w podstawie kwadrat o boku 9 cm, a jego wysokość wynosi 11 cm. Pole podstawy żółtego graniastosłupa wynosi 90 cm2, a jego wysokość jest równa 10 cm. Oblicz, który graniastosłup narysowany przez Marysię ma większą objętość.

Rozwiązanie:
Najpierw obliczamy pole podstawy różowego graniastosłupa, który ma w podstawie kwadrat o boku 9 cm.

Pole podstawy różowego graniastosłupa wynosi 81 cm2.

Teraz obliczamy objętość tego graniastosłupa mnożąc jego pole podstawy, czyli 81 cm2 razy jego wysokość równą 11 cm

Objętość różowego graniastosłupa wynosi 891 cm3.

Następnie obliczamy objętość żółtego graniastosłupa, którego pole podstawy wynosi 90 cm2, a jego wysokość ma długość 10 cm.

891 cm3 < 900 cm3

Odpowiedź: Żółty graniastosłup ma większą objętość niż różowy graniastosłup.

Zadanie 6
Oblicz jaką długość ma krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego objętość wynosi 288 cm3, a jego wysokość jest równa 8 cm.

Rozwiązanie:
Najpierw musimy obliczyć ile wynosi pole podstawy tego graniastosłupa. Możemy to zrobić dzieląc jego objętość, czyli 288 cm3 przez jego wysokość równą 8 cm.

Żeby obliczyć długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa musimy podłożyć pole podstawy tego graniastosłupa pod wzór na pole kwadratu, a następnie wykonać równanie.

/

Odpowiedź: Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 6 cm.

Zadanie 7
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego suma pól obu podstaw jest równa 200 cm2, a wysokość tego graniastosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:
Na początek musimy obliczyć wielkość jednego pola podstawy tego graniastosłupa. Wiemy, że suma dwóch podstaw tego graniastosłupa jest równa 200 cm2, zatem pole jednej podstawy obliczymy dzieląc 200 cm2 na dwa.

Pole jednej podstawy tego graniastosłupa wynosi 100 cm2.

Następnie musimy obliczyć długość jednej krawędzi podstawy tego graniastosłupa, aby później móc obliczyć jego wysokość. Żeby to zrobić musimy 100 cm2 podłożyć pod wzór na pole kwadratu, a następnie wykonać równanie.

/

Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 10 cm.

Teraz obliczamy wysokość tego graniastosłupa mnożąc krawędź jego podstawy, czyli 10 cm razy dwa, ponieważ wiemy, że wysokość tego graniastosłupa jest dwa razy dłuższa niż krawędź jego podstawy.

Wiemy już jaką długość ma wysokość tego graniastosłupa oraz wiemy ile wynosi jego pole podstawy, dlatego teraz możemy obliczyć jego objętość.

Odpowiedź: Objętość tego graniastosłupa wynosi 2000 cm3.

Zadanie 8
Aleksander skonstruował z papieru graniastosłup prawidłowy sześciokątny, którego wysokość ma długość 11 cm, a krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa 8 cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pola podstawy tego graniastosłupa. Wiemy, że w jego podstawie znajduje się sześciokąt, którego pole obliczymy ze wzoru .

Następnie obliczamy objętość tego graniastosłupa mnożąc razy wysokość tego graniastosłupa, czyli 8 cm.

Odpowiedź: Objętość tego graniastosłupa wynosi .

Zadanie 9
Oblicz objętość graniastosłupa , którego pole powierzchni całkowitej wynosi 190 cm2, jego pole boczne wynosi 120 cm2, a jego wysokość jest równa 12 cm.

Rozwiązanie:
Najpierw musimy obliczyć pole jednej podstawy tego graniastosłupa. Możemy to zrobić odejmując 120 cm2 od 190 cm2, a następnie otrzymany wynik dzieląc na dwa.

Pole podstawy tego graniastosłupa wynosi 35 cm2.

Następnie obliczamy objętość tego graniastosłupa mnożąc jego pole podstawy, które wynosi 35 cm2 razy długość wysokości tego graniastosłupa, czyli 12 cm.

Odpowiedź: Objętość tego graniastosłupa wynosi 420 cm3.

Zadanie 10
Martyna i Anastazja rysowały w zeszycie graniastosłupy. Martyna narysowała graniastosłup prawidłowy trójkątny, którego krawędź podstawy ma długość 4 cm, a wysokość tego graniastosłupa jest równa 6 cm. W podstawie graniastosłupa narysowanego przez Anastazję znajduje się sześciokąt o boku 2 cm, a wysokość tego graniastosłupa ma długość 4 cm. Oblicz, która z dziewczyn narysowała graniastosłup o większej objętości.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pole podstawy graniastosłupa narysowanego przez Martynę. Wiemy, że w jego podstawie znajduje się trójkąt równoboczny, zatem jego pole obliczymy ze wzoru .

Teraz obliczamy objętość tego graniastosłupa mnożąc razy 6 cm.

Objętość graniastosłupa narysowanego przez Martynę wynosi .

Następnie obliczamy pole podstawy graniastosłupa narysowanego przez Anastazję, który w podstawie ma sześciokąt o boku 2 cm.

Teraz możemy obliczyć objętość graniastosłupa narysowanego przez Anastazję mnożąc razy 4 cm.

Odpowiedź: Graniastosłup narysowany przez Martynę ma taką samą objętość jak graniastosłup narysowany przez Anastazję.