Kąt środkowy

Kąt to taki obszar, który zawsze powstaje pomiędzy dwiema półprostymi (nazywane są ramionami), które mają wspólny początek (nazywany wierzchołkiem kąta).

Odróżnia się kilka rodzajów kątów w zależności od ich rozwartości, czyli wartości liczbowej wyrażonej w stopniach ° . Są to kąty:
1. pełny ma 360°;
2. półpełny ma 180°;
3. prosty ma 90°;
4. ostry ma więcej niż 0° i więcej niż 90°;
5. rozwarty ma więcej niż 90°, ale mniej niż 180°;
6. wklęsły ma więcej niż 180° oraz mniej niż 360°;
7. wypukły o mierze równej bądź mniejszej 180°.
Przykłady powyższych kątów:

Kąty mają szczególne własności. Są to:
1. kąty przyległe to dwa kąty wypukłe o jednym wspólnym ramieniu. Ich suma wynosi 180°.

2. kąty wierzchołkowe to dwa kąty o wspólnym wierzchołku o tej samej mierze. Zbudowane są z dwóch prostych.

3. kąty naprzemianległe to dwa kąty w dużym uproszczeniu wierzchołkowe, ale rozciągnięte poprzez dwie, a nie jedną prostą.

4. kąty odpowiadające to dwa kąty zaznaczone w ten sam sposób co kąty naprzemianległe z zastosowaniem zasady kątów wierzchołkowych.

Kąt środkowy zaznacza się w okręgu. Wierzchołkiem tego kąta jest środek okręgu (zaznaczany jako , a ramionami dwie półproste, na których znajduje się jeden punkt, który leży równocześnie też na okręgu. Dany kąt środkowy mówi się, że jest oparty na łuku np. . Wygląda to przykładowo tak (łuk zaznaczony jest niebiesko-żółtym kolorem):

Jeśli kąt ma mniej niż 180°, to kąt środkowy położony jest na krótszym z łuków . Kiedy ten kąt ma więcej niż 180°, to kąt środkowy oparty jest na dłuższym z łuków . Natomiast kiedy ten kąt jest równy 180°, to kąt środkowy położony jest na półokręgu. Jest to wtedy kąt półpełny.

Kąt wpisany w okrąg jest kątem o wierzchołku leżącym na okręgu oraz ramionach, które są cięciwami wychodzącymi od wierzchołka kąta.

Na rysunku powyżej kąt jest kątem wpisanym, a kąt zaznaczony przerywanymi liniami jest kątem środkowym. Oba kąty są oparte na tym samym łuku.

Może być sytuacja, kiedy kąt środkowy oraz kąt wpisany są oparte na tym samym łuku okręgu. Może się zdarzyć tak, że kąt środkowy leży wewnątrz kąta wpisanego. Aby tak się zdarzyło, zaznaczamy na okręgu punkty A, B, C oraz punkt S jako środek okręgu. Wygląda to tak:

Kąt jest kątem środkowym, a kąt kątem wpisanym. Oba oparte są na łuku . Teraz należy zaznaczyć kąty oraz . Po poprowadzeniu promienia okręgu z punktu C otrzymujemy dwa trójkąty równoramienne. Dzięki emu możemy oznaczyć dane miary kątów:

Wtedy można zapisać poniższe równości:

oraz

Dzięki temu:

oraz

Suma miar kątów ASC, BSC, ASB to 360°:

Z tego wynika:

Natomiast:

Dlatego:
.