Wzór na objętość

Dzisiaj zajmiemy się objętość. Oczywiście, w każdej dziedzinie życia oznacza oraz wyrażana jest ona tak samo. Jednak rozpatrując dziedzinę fizyki, matematyki oraz chemii możemy spotkać się z różnymi wzorami. Na początku ustalmy sobie, czym w zasadzie jest objętość i kiedy możemy ją obliczać. Gdy mamy pewną figurę przestrzenną (trójwymiarową), to możemy obliczyć miarę przestrzeni jaką zajmuje w tych trzech wymiarach. To właśnie jest objętość. Podsumowując więc, dzięki objętości możemy stwierdzić ile wody zmieści się w danym basenie, ile drewna użyto do zbudowania jednej ściany domku drewnianego, ilość powietrza znajdującego się w twoim pokoju itd.

Zacznijmy może od fizyki. W dziale z hydrostatyką możemy spotkać się z poniższym wzorem:
objętość =
Ten wzór pochodzi z przekształconego wzoru na gęstość (można też się spotkać z literką d oznaczającą gęstość):

Co więc jest jednostką objętości? Spróbuj przekonać się rozwiązując poniższe zadanie.

zadanie 1
Oblicz objętość oleju silnikowego o masie 7 kg i gęstości .

Dane:
m = 7kg
ρ = 700

Szukane:
V = ?

Rozwiązanie:

Odpowiedź: Objętość wynosi 0,01 metrów sześciennych.

Jeśli jednak gęstość byłaby podana w innej jednostce gęstości, np. , to musielibyśmy dane przekształcić w taki sposób, aby koniec końców miary wagi nam się skróciły, a więc na kilogramy, dekagramy, gramy, tony itd.

Podsumowując, jeśli objętość obliczamy z tego wzoru, masa powinna być wyrażona w tej samej jednostce to licznik jednostki gęstości. Dlatego właśnie tak ważna jest znajomość zamiany jednostek.

W FIZYCZNYM WZORZE NIE MUSIELIŚMY ZNAĆ KSZTAŁTU NACZYNIA W JAKIM JEST DANY GAZ/ DANA CIECZ / DANE CIAŁO!

Spójrzmy teraz na objętość pod kątem chemii. Z tego punktu widzenia, objętość również obliczamy z wzoru:

Ten wzór przekształcamy:

, gdzie m jest masą substancji, a d jest gęstością.

Ten wzór działa na tej samej zasadzie co ten powyżej. Zwracajmy uwagę na jednostki!!! Jednostki muszą się zgadzać.

Z punktu matematycznego, zazwyczaj spotykamy się z zadaniami, w których mamy podany konkretny kształt bryły. W zależności od tego, co jest tą bryłą, takiego używamy wzoru.

Zacznijmy od prostopadłościanu. Jest to bryła, której długość, wysokość oraz szerokość są różnej długości. Ponadto, bryła ta ma dwie podstawy oraz 2 pary ścian bocznych.

Aby otrzymać wzór na objętość prostopadłościanu, wystarczy, że pomnożymy długości jego 3 różnych krawędzi, a więc długości, szerokości oraz wysokości, co odpowiednio na rysunku powyżej jest zaznaczone jako a, b oraz c. Co ważne, długości tych boków MUSZĄ BYĆ WYRAŻONE W TEJ SAMEJ JEDNOSTCE DŁUGOŚCI!!!

Poniżej przedstawiam ściągę pomagającą zamieniać jednostki objętości oraz długości:

Nie ważne jest, na jakiej podstawie leży prostopadłościan, gdyż nie ma znaczenia, czy pomnożymy: czy też , gdyż w mnożeniu mamy dowolność ułożenia elementów. Jednostką objętości będzie więc przyjęta jednostka długości boku podniesiona do trzeciej potęgi.

zadanie 1
Oblicz objętość prostopadłościanu o krawędziach: 20cm, 3dm, 0,4m.

Rozwiązanie takiego zadania zaczynamy od wypisania danych. Następnie ustalamy w jakiej jednostce długości będzie nam najłatwiej liczyć. Chyba, że w zadaniu mamy z góry narzuconą jednostkę objętości, to wtedy pod nią zamieniamy nasze dane. Jeśli nie jest podane, mamy pełną dowolność.

Dane:
a = 20cm = 2dm
b = 3dm
c = 0,4 m = 4dm

Szukane:
V = ?

Odpowiedź: Objętość tego prostopadłościanu wynosi 24 decymetry sześcienne.

zadanie tekstowe ekstra:
Jasiu chce wypełnić wodą akwarium o wymiarach 6dm, 0,8m, 50cm. Oblicz ile litrów wody zmieści się w tym akwarium.

Rozwiązanie takiego zadania zaczynamy od zadania sobie pytania, jaką objętość zajmuje 1 litr wody.

Dane:

Ponadto zapisujemy wszystkie nasze dane. Zauważ, że objętość 1 litra wody wyraziliśmy w decymetrach sześciennych, dlatego właśnie warto wyrazić wymiary naszego akwarium w decymetrach.

Dane ciąg dalszy:
a = 6dm
b = 0,8m = 8dm
c = 50cm = 5dm

Szukane:
V = ?

Rozwiązanie zadania polega na podstawieniu naszych danych do wzoru. Policzymy objętość naszego zbiornika, a następnie zobaczymy, ile litrów wody w nim się zmieści.

Skoro jeden litr wody zajmuje objętość 1 decymetra sześciennego, to ile litrów wody będzie zajmować 240 decymetrów sześciennych? Możemy sobie stworzyć proporcję, bądź też możemy policzyć to w głowie.

1 litr —>
x litrów —>

Odpowiedź: Jasiu może wypełnić te akwarium 240 litrami wody.

Oczywiście, możemy się również spotkać ze szczególnym przypadkiem prostopadłościanu, jakim jest sześcian.

Jego wszystkie krawędzie są tej samej długości. Oznacza to więc, że mnożąc 3 krawędzie przez siebie otrzymamy taki wzór:

zadanie 3
Oblicz objętość sześcianu, którego krawędź wynosi 3dm.

Dane:
a = 3dm

Odpowiedź: Objętość tego sześcianu wynosi 27 decymetrów sześciennych.

Przejdźmy teraz do objętości graniastosłupów. Graniastosłupy to takie bryły, które mają dwie takie same równoległe do siebie podstawy. Tym samym, wszystkie wierzchołki bryły znajdują się na dwóch płaszczyznach (są one podstawami).

Co ważne, te podstawy mogą być dowolne, a więc mogą być nimi trójkąt, romb, czworokąt, sześciokąt, pięciokąt itd. Poza tym, zachodzi równoległość między wszystkimi pozostałymi krawędziami, a więc krawędziami bocznymi.

Chcąc obliczyć objętość tych brył wykonujemy dosyć proste obliczenia. Zawsze mnożymy pole podstawy razy wysokość figury (H).

Z tego wzoru więc wynika, że do obliczania zadań z objętością graniastosłupów niezbędna jest wiedza związana z obliczeniem pól powierzchni figur płaskich. Warto więc powtórzyć pole na:
Trójkąt równoboczny:
Trójkąt
Trapez
Kwadrat
Prostokąt
Romb
Równoległobok

Spróbujmy zastosować powyższą wiedzę w praktyce.

zadanie tekstowe
Oblicz objętość poniższego graniastosłupa.

Zacznijmy rozwiązanie zadania od odczytania i wypisania danych. Mamy tutaj już pewne ułatwienie, gdyż prawie wszystkie miary są wyrażone w tej samej jednostce. Jak widzisz, podstawą tego graniastosłupa jest trapez.

a = 8cm
b = 1,2dm=12cm
h = 6cm

H = 2dm =20cm

Zacznijmy od obliczenia pola podstawy:

Czas na objętość:

Odpowiedź: Objętość tego graniastosłupa wynosi 1200 centymetrów sześciennych.

Spróbujmy teraz zająć się ostrosłupem. Ostrosłup to figura, która ma tylko jedną podstawę. Z niej są poprowadzone krawędzie, które łączą się w jednym punkcie, jakim jest wierzchołek.


Oczywiście, wyróżniamy wiele rodzajów ostrosłupów. One będą różnić się podstawami, a tym samym i wysokością. Nie zmienia to faktu, że za każdym razem objętość obliczamy z tego samego wzoru:

W zależności od tego, co jest podstawą ostrosłupa, tak będziemy obliczać jego pole podstawy. Powyżej przypomniałam Ci podstawowe wzory na pola powierzchni figur płaskich. Teraz czas na zadanie

zadanie tekstowe
Oblicz objętość ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny o kącie ostrym 30° oraz o przyprostokątnej przy kącie długości . Cztery razy dłuższa jest wysokość od krótszej przyprostokątnej.

Rozwiązanie takiego zadania zacznijmy od obliczenia pola podstawy. Zauważamy, że jest to charakterystyczny trójkąt.

My wiemy, że cm. Z tego bez problemu odczytujemy, że a = 3cm. Tym samym mamy długości wszystkich boków.

Dane:
cm
h = 3cm

Widzimy, że krótsza przyprostokątna ma długość 3cm. Z tego wnioskujemy, że wysokość to:

Czas na obliczenie objętości:

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi

Teraz czas na jeszcze trudniejsze figury przestrzenne. Czas na walec.


Obliczanie objętości tej figury jest również stosunkowo proste, gdyż wystarcza tylko umiejętnie podstawić dane do wzoru i gotowe!

r to promień podstawy walca, a H to wysokość walca. Wzór więc wygląda o tak:

Czas więc na zadanie!!

zadanie
Oblicz objętość walce przedstawionego poniżej. Jego promień to 5, a wysokość to 10.

Rozwiązanie zadania znów zaczynamy od wypisania danych, a potem kolejny raz podstawiamy do wzoru.

Dane:
r = 5
H = 10

Szukane:
V = ?

Odpowiedź: Objętość tego walca wynosi 250π.

Skoro omówiliśmy już pierwszą figurę, której podstawą jest koło, to omówmy sobie teraz objętość figury, która również ma w podstawie koło. Z tą różnicą, że bryła ta posiada tylko jedną podstawę. Domyślasz się co to za bryła?

A teraz? Kojarzysz już co to za bryła?
Jest to oczywiście stożek. Ma on jedną podstawę.

Chcąc znać objętość tej figury musimy znać długość promienia podstawy stożka oraz jego wysokość. Wysokość ta jest poprowadzona to wierzchołka stożka.

Zauważ, że w środku tego wzoru widzimy też wzór na pole koła ().

Czas na zadanie!!!

zadanie z objętością stożka
Oblicz objętość stożka, którego wysokość to 9cm. Średnica koła w podstawie wynosi cm.

Dane:
s = cm (średnica stanowi długość dwóch promieni)
cm
h = 9 cm

Szukane:
V =?

Odpowiedź: Objętość tego stożka wynosi 81

Przyszedł czas na jedną z ulubionych figur przestrzennych matematyków. Mianowicie przyszedł czas na objętość kuli. Aby obliczyć ją wystarcza nam znajomość długości jej promienia. Stosunkowo więc obliczenia są te proste, gdyż w całym wzorze mamy jedną niewiadomą (plus jeszcze objętość).

Objętość kuli wyraża wzorem:

Tradycyjnie przyszedł czas na zadanie

ćwiczenie:
Oblicz objętość kuli przedstawionej na grafice poniżej.

Kolejny raz więc wypisujemy dane, szukane, a na końcu podstawiamy do wzoru. Nie zapominajmy o odpowiedziach!!

Dane:
r = 3

Szukane:
V =?

Rozwiązanie:

Odpowiedź: Objętość powyższej kuli wynosi 36π [jednostek sześciennych].