Pochodne

Pochodną funkcji f w punkcie x0 Df nazywamy liczbę f'(x0) = lim , .

Df – dziedzina funkcji

Funkcja ma pochodną w punkcie x0 jeżeli posiada granicę własciwą (skończoną). Gdy funkcja ma pochodną w punkcie x0 to inaczej mówimy, że jest różniczkowalna w tym punkcie.
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna to znaczy,że jest ciągła w tym punkcie.

Jeżeli funkcja nie posiada granicy to znaczy,że niema pochodnej w punkcie x0

Oto kilka przykładów:

Przykład 1.
Oblicz pochodną funkcji f(x) = 3x + 3 w punkcie x0 = 4.

W tym celu skorzystamy z definicji na pochodną funkcji.

f'(4) = lim = lim = lim = lim = lim

Pochodna funkcji f(x) = 3x + 3 w punkcie x0 = 4 jest równa 2.

Przykład 2.
Oblicz pochodną funkcji f(x) = 2x2 + 12x – 18 w punkcie x0 = (-3).

W tym celu skorzystamy z definicji na pochodną funkcji.

f'(-3) = lim =

Pochodna funkcji f(x) = 2x2 + 12x -18 w punkcie x0 = (-3) jest równa 0.

Obliczanie pochodnej kilku podstawowych funkcji:

Przykład 1.
Oblicz pochodną funkcji stałej f(x) = 2 w dowolnym punkcie.

W tym celu skorzystamy z definicji na pochodną funkcji.

f'(x0) = lim = lim = 0

Wniosek: Pochodna funkcji stałej w dowolnym punkcie jest równa 0.

Przykład 2.
Oblicz pochodną funkcji f(x) = 3x + 2 w dowolnym punkcie.

W tym celu skorzystamy z definicji na pochodną funkcji.

f'(x0) = lim = lim = lim = lim

Wniosek: Pochodna funkcji f(x) = 3x + 2 w dowolnym punkcie jest równa 3.

Przykład 3.
Oblicz pochodną funkcji f(x) = x2 w dowolnym punkcie.

W tym celu skorzystamy z definicji na pochodną funkcji.

f'(x0) = lim = lim lim = lim x + x0 = 2x

Wniosek: Pochodna funkcji f(x) = x2 w dowolnym punkcie jest równa 2x.

Przykład 4.
Oblicz pochodną funkcji f(x) = x3 w dowolnym punkcie.

W tym celu skorzystamy z definicji na pochodną funkcji.

f'(x0) = lim = lim lim = lim x2 + xx0 + = 3

Wniosek: Pochodna funkcji f(x) = x3 w dowolnym punkcie jest równa 3

Przykład 5.
Oblicz pochodną z pierwiastków drugiego, trzeciego i czwartego stopnia:

Pochodna z pierwiastka drugiego stopnia jest równa , z pierwiastka trzeciego stopnia wynosi , a z pierwiastka czwartego stopnia .

Pochodną funkcji można obliczyć korzystając z powyższej definicji lub za pomocą wzorów na pochodne.

Podstawowe twierdzenia o pochodnej:

Twierdzenie 1.
Wzór na pochodną sumy funkcji:

[f(x) + g(x)]’ = f'(x) + g'(x)

Pochodna sumy równa się sumie pochodnej.

Wzór na pochodną różnicy funkcji jest analogiczny:
[f(x) – g(x)]’ = f'(x) – g'(x)

Twierdzenie 2.
Wzór na pochodną iloczynu funkcji:

[(f(x) g(x)]’ = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)

Twierdzenie 3.
Wzór na pochodną iloczynu funkcji, gdy jedna z funkcji jest liczbą stałą:

[a f(x)]’ = a f'(x)

Twierdzenie 4.
Wzór na pochodną ilorazu funkcji:

’ =

Twierdzenie 5.
Wzór na pochodną funkcji złożonej:

[f(g(x))]’ = g'(x) f'(g(x))

Pochodne funkcji elementarnych:

f(x)