Całki wzory

Aby wyjaśnić co to jest całka muszę najpierw wytłumaczyć kilka pojęć.

Pochodna funkcji:
Jest to miara szybkości (dynamikę) zmian, którą obserwujemy na wykresie badanej funkcji. Interpretując pochodną geometryczną funkcji jest to styczna w punkcie do tej funkcji.

Jak obliczać pochodne? (przykład 1)
Rozważmy funkcję:

Pochodną funkcji f(x) oznaczamy f'(x). Pochodna funkcji w postaci jest równa .
Poniżej pokaże jak to obliczyć:
f'(x)= 4*5x3 – 3*7x2 + 1

Przykład 2:
Pochodne niektórych funkcji:
f(x)=d ; f'(x)=0
f(x)= ; f'(x) =
f(x)=sin(x) ; f'(x)=cos(x)
f(x)=cos x ; f'(x)=-sin x
f(x)=tg x ; f'(x)=
f(x)=ctg x ; f'(x)=

Całka -Jest odwrotnością różniczkowania, czyli odwrotnością pochodnych funkcji. Oznaczamy ją za pomocą symbolu „∫”.

Teraz obliczę całkę funkcji na prostym przykładzie. Dana jest funkcja f(x)=3x4-18x Całka tej funkcji w takim razie będzie równa
∫f(x)dx = x5 – 9x2 + C
W wyrażeniu ∫f(x)dx, „dx” informuje nas , że obliczamy całkę po zmiennej „x”, jednak w naszym przypadku nie ma to znaczenia, ponieważ w tym przykładzie nie ma innej zmiennej, niż zmienna „x”.
C – dowolna liczba ze zbioru liczb rzeczywistych
Aby udowodnić wiarygodność tego wyniku, obliczę pochodną tej funkcji podaną już w wyniku.
f’x= * 5x4 – 9 * 2x
f’x = 3x4 – 18x
„C” jak pisałam już wcześniej to dowolna liczba rzeczywista, jak z dowolnej liczby rzeczywistej chcę obliczyć liczbę pochodną to w wyniku zawsze uzyskuję „0”, zatem całką szukanej funkcji jest zbiór funkcji, a nie jedna funkcja.

Teraz zajmę się wzorami na całki (wzorów na całki jest bardzo dużo, ja wybrałam te, które uważam za najbardziej przydatne).
Zakładam, że „C” jest dowolną liczbą rzeczywistą, więc (przykład 1):
∫n dx = nx + C
przykład z konkretną liczbą:
∫8 dx = 8x + C
Uwaga, wzór (2) poniżej stosuje się tylko wtedy, kiedy „k” nie jest równe -1.
∫yk dx = xk+1 + C
Przykład z konkretną liczbą:
∫21 dx = * 22 + C
∫21 dx = 2 + C
wzór (3):
∫ dx = ln |y| +C
Przykład z konkretną liczbą:
∫ dx = ln 2 + C = około 0,693 + C
wzór(4):
∫cos x dx = sin x + C
Przykład z konkretną liczbą:
∫cos 30° dx = sin 30° + C
wzór(5):
∫sin x dx = -cos x + C
Przykład z konkretną liczbą:
∫sin 60° dx = – cos 60° + C
Wzór(6):
∫tg x = -ln |cos x| + C
Wzór(7):
∫ctg x = ln |sin x| + C
Wzór(8):
∫cos ax dx = sin x + C
Wzór(9):
∫ex dx = ex + C
Wzór(10):
∫ax dx = + C

Czym różni się całka oznaczona od nieoznaczonej?
Całki możemy obliczyć oznaczone lub nieoznaczone. Całki oznaczone można traktować jako pole powierzchni między wykresem funkcji f(x), a osią odciętych ( osią x ) w przedziale od pewnej liczby od „a” do „b”. Zapisujemy to w postaci . Według twierdzenia Newtona – Leibnica jeżeli ta funkcja f(x) jest ciągła w przedziale od „a” do „b”, to całkę oznaczoną możemy obliczyć ze wzoru:

Obliczanie całek nieoznaczonych w zadaniach:

zadanie 1 :
Oblicz całkę nieoznaczoną ∫
zadanie 2 :
Oblicz całkę nieoznaczoną ∫7x dx

zadanie 3 :
Oblicz całkę nieoznaczoną ∫

Odpowiedź 1:
Wykorzystałam wzór ∫ = ln |x+a| +C. Podstawiam wartości do wzoru:
∫ = ln |3 + x| + C

Odpowiedź 2:
Wykorzystałam wzór ∫ax dx = + C .Podstawiam wartości do wzoru:
∫7x dx = + C

Odpowiedź 3:
Wykorzystałam wzór ∫ dx = ln |f(x)| + C. Podstawiam wartości do wzoru:
∫ = ln |x3 + 2x2 + 5| + C

Obliczanie całek oznaczonych w zadaniach:

Zadanie 1 :
Oblicz całkę oznaczoną z funkcji f(x) = sin x w przedziale od 0 do π.

Zadanie 2:
Oblicz całkę oznaczoną z funkcji f(x) = 5x3 – 3x2 -x

Odpowiedź 1 :
Obliczam według wzoru = – (-1) – (-1) = 1 + 1 = 2
Odpowiedź 2:
=
F(x)=15x2 – 6x – 1
= 15 * 9 – 18 – 1 – (15 – 7) = 108

Do czego wykorzystuje się całki:
Całki przydają nam się w wielu dziedzinach, a przede wszystkim w dziedzinie chemii, fizyki oraz matematyki. Wykorzystujemy je, by obliczać pola pod wykresem, długości łuków, objętości dziwnych figur, które nie możemy wyliczyć prostym sposobem, wykorzystując podstawowe wzory. Do obliczenia całki potrzebujemy odległości między dwoma argumentami. Do innych rodzajów całek zaliczamy całkę Newtona oraz całkę Riemanna.