Ekstremum funkcji

Ekstremum funkcji

Wstęp:
W tym opracowaniu dowiesz się co to jest ekstremum funkcji oraz jak się je wyznacza.

Ekstrema funkcji:
Ekstremum danej funkcji „x0” to lokalnie największa wartość (tzw. maksimum), bądź lokalnie najmniejsza wartość (tzw. minimum) jaką może przyjąć ta funkcja (wyraz „lokalnie” oznacza, że jeśli funkcja ma ekstremum w punkcie x0 to w najbliższym otoczeniu tego punktu funkcja przyjmuje wartość największą, bądź najmniejszą dla x0). Prościej rzecz ujmując ekstrema funkcji dzielimy na maksima i minima. Maksimum funkcji to „górka” na wykresie, a minimum funkcji to „dołek”, tak jak pokazano na rysunku poniżej:

Funkcja przyjmuje maksimum (maksimum lokalne) w punkcie x1 .

Funkcja przyjmuje minimum (minimum lokalne) w punkcie x2 .

Wyznaczanie ekstremum funkcji:
Aby wyznaczyć ekstrema funkcji niezbędna jest umiejętność wyznaczania pochodnych, gdyż tam gdzie pochodna funkcji będzie „zmieniać znak” tam sama funkcja będzie mieć ekstremum. Przeanalizujmy poniższy rysunek:

Kolorem czerwonym zaznaczono pewną funkcję, a kolorem niebieskim jej pochodną. x1 oraz x2 to zarówno ekstrema funkcji, jak i miejsca zerowe pochodnej funkcji. Tam, gdzie pochodna zmienia znak z plusa na minus (czyli tam, gdzie zaczyna przyjmować wartości ujemne zamiast dodatnich tj. x1) funkcja osiąga ekstremum. Tam, gdzie pochodna zmienia znak z minusa na plus (czyli tam, gdzie zaczyna przyjmować wartości dodatnie zamiast ujemnych tj. x2) funkcja osiąga minimum.

A zatem, aby wyznaczyć ekstrema danej funkcji musimy najpierw znaleźć pochodną tej funkcji, a następnie wyznaczyć jej miejsca zerowe. W punktach gdzie wykres pochodnej będzie „przechodził” na drugą stronę osi OX, funkcja będzie miała ekstrema.
Przykładowo załóżmy że mamy funkcję określona wzorem: f(x) = 8x3 + 7x2 + x + 5 i chcemy wyznaczyć jej ekstrema. Najpierw musimy znać pochodną tej funkcji. Obliczamy zatem pochodną podanej funkcji:
f'(x) = (8x3 + 7x2 + x + 5)’ = 24x2 + 14x + 1.
Policzywszy już pochodną wyznaczamy teraz jej miejsca zerowe:
24x2 + 14x + 1 Δ = 142 – 4 24 1 = 196 – 96 = 100
x1 = = =
x2 = = =
Szkicujemy teraz „mini” wykres pomocniczy, zaznaczając na nim miejsca zerowe pochodnej naszej funkcji:

Teraz łatwo zauważyć, że pochodna zmienia znak z plusa na minus w punkcie x2 (maksimum funkcji) oraz że pochodna zmienia znak z minusa na plus w punkcie x1 (minimum funkcji).

A zatem funkcja określona wzorem: f(x) = 8x3 + 7x2 + x + 5 posiada maksimum lokalne w punkcie x2 = oraz posiada minimum lokalne w punkcie x1 = .

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się co to jest ekstremum funkcji, a także nauczyłeś się je wyznaczać.