Styczna do wykresu funkcji

Styczna do wykresu funkcji

Wstęp:
W tym opracowaniu poznasz definicję stycznej oraz dowiesz się czym charakteryzuje się styczna do wykresu funkcji.

Styczna do wykresu funkcji:
Załóżmy, że mamy podaną funkcję f(x), która jest różniczkowalna w punkcie x0. Wtedy równanie stycznej do tej funkcji w punkcie (x0, f(x0)) wyrażać się będzie wzorem:
y = f'(x0) (x – x0) + f(x0)
(można łatwo zauważyć, że styczna ma przebieg liniowy)

Rysunek obok przedstawia przykładową funkcję (kolor czerwony) oraz styczną do tej funkcji w punkcie (x0,f(x0)) (kolor niebieski)

Przykład 1:
Załóżmy że mamy podaną funkcję określoną wzorem: f(x) = 2x2 + 3x + 7 i chcemy znaleźć styczną do tej funkcji w punkcie (1, 12) (x0,f(x0)). Nasza styczna będzie miała postać: y = f'(x0) (x – x0) + f(x0) , gdzie x0 = 1 i f(x0) = 12. Brakuje nam jedynie wartości f'(x0), a żeby ją znać liczymy najpierw pochodną funkcji f(x):
f'(x) = (2x2 + 3x + 7)’ = 4x + 3 (Mając podaną pochodną funkcji możemy obliczyć f'(x0))
f'(x0) = f'(1) = 4 1 + 3 = 4 + 3 = 7
Podkładamy teraz wszystkie wartości do wzoru na styczną:
y = f'(x0) (x – x0) + f(x0)
y = 7 (x – 1) + 12
y = 7x – 7 + 12
y = 7x + 5
A zatem styczna do wykresu funkcji f(x) = 2x2 + 3x + 7 w punkcie (1, 12) jest określona wzorem y = 7x + 5.

Ciekawą i przydatną własnością stycznej jest też to, że skoro wartość f'(x0) jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej to jest też zarazem równa tangensowi kąta, jaki styczna (do wykresu w punkcie (x0,f(x0))) tworzy z osią OX:

Na rysunku obok kolorem czerwonym zaznaczono funkcję, a kolorem niebieskim styczną do tej funkcji w punkcie (x0,f(x0).
Prawdziwa jest równość:
tg α = f'(x0).

Przykład 2:
Załóżmy że mamy podaną funkcję określoną wzorem: f(x) = 3x2 + 5x + 1 i chcemy znaleźć styczną do tej funkcji, która nachylona będzie do osi OX pod kątem 45°. Nasza styczna będzie miała postać: y = f'(x0) (x – x0) + f(x0). Obliczamy f'(x0) korzystając z tego, że tg α = f'(x0):
f'(x0) = tg α = tg 45° = 1 (f'(x0) = 1)
Teraz, aby policzyć x0 obliczamy najpierw pochodną funkcji f(x) = 3x2 + 5x + 1:
f'(x) = (3x2 + 5x + 1)’ = 6x + 5
Teraz, znając już pochodną, obliczamy x0, bo skoro f'(x0) = 1 oraz f'(x) = 6x + 5 to f'(x0) = 6x0 + 5, czyli:
1 = 6x0 + 5 (odejmujemy obustronnie 5)
(-4) = 6x0 (dzielimy obustronnie przez 6)
x0 =
Do policzenia została nam tylko wartość f(x0):
f(x0) = f = = = = = (-2) + 1 = (-1) (f(x0) = (-1))
Zostało nam tylko teraz obliczone wartości podłożyć do wzoru na postać stycznej:
y = f'(x0) (x – x0) + f(x0)
y = 1 (x – ()) + (-1)
y = x + – 1
y = x –
A zatem styczna do wykresu funkcji f(x) = 3x2 + 5x + 1, nachylona do osi OX pod kątem 45°, jest określona wzorem y = x – .

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się jaka jest definicja stycznej do wykresu funkcji oraz czym charakteryzuje się styczna.