Wzory na pochodne

Wzory na pochodne :

Definicja pochodnej: pochodną funkcji f w punkcie xo należący do definicji funkcji nazywamy liczbę : f'(x) = lim

Obliczanie pochodnej funkcji w punkcie :

Przykład 1

f(x) = 2x + 3, xo = 3
f'(x)= lim = lim =
lim = lim = 2

Przykład 2

f(x) = x+4, xo = 1
f'(1)= lim =lim =
lim = 1

Przykład 3

f(x)= 6x+2, x o= 2
f'(2)= = lim =
lim = lim = 6

Przykład 4

f(x)= 4x+1, xo= 1
f'(1)= lim = lim = lim = lim = 4

Przykład 5

f(x)= x-4, xo = 2
f'(2)= lim = lim =
lim

Przykład 6

f(x)= 3x+2, x o= 2
f'(2)= = lim =
lim = lim = 3

Przykład 7

f(x)= 4x+6, xo = 3
f'(3)= = lim =
lim = lim

Przykład 8

f(x)= 6x+1, xo = 2
f'(2)= lim = lim =
lim = lim = 6

Przykład 9

f(x)= 4x+5, xo = 3
f'(3)= lim = lim = lim = lim = 4

Przykład 10

f(x)= 10x+3, xo = 2
f'(2)= lim = lim =
lim = lim = 10

Przykład 11

f(x)= 6x+3, xo = 1
f'(1)= = lim =
lim = lim = 6

Przykład 12

f(x)= 2x+6, xo = 2
f'(2)= = lim =
lim = lim = 2

Przykład 13

f(x)= 6x + 6, xo = 3
f'(3)= = lim =
lim = lim = 6

Przykład 14

f(x)= 3x +9 , xo = 2
f'(2)= = lim = lim = lim = 3

Przyklad 15

f(x)= 2x+12, xo = 4
f'(4)= = lim =
lim = lim = 2

Przyklad 16

f(x)= 8x+7, xo = 3
f'(3)= = lim =
lim = lim = 8

Przyklad 17
f(x)= x+10, xo = 6
f'(6)= = lim =
lim = 1

Przykład 18
f(x)= 3x+30, xo = 10
f'(x)= = lim =
lim = lim =3

Przyklad 19
f(x)= x+1, x o = 1
f'(1)= = lim =
lim = 1

Przyklad 20
f(x)= 8x+1, xo= 4
f'(4)= = lim =
lim = lim = 8

Nastepnie obliczymy pochodne kilku podstawowych funkcji:

1. Funkcja stała

f(x)= c
f'(x)= lim = lim
= 0

Wniosek: pochodna funkcji stałej w dowolnym punkcie jest równa 0.

2. Funkcja liniowa

f(x)= ax + b
f'(x)= lim = lim = lim = lim = a

3. Funkcja kwadratowa

f(x)=
f'(x)= lim = lim = lim = lim

4. Funkcja sześcienna

f(x)=
f'(x)= lim =
lim =
lim

Ogólnie dowodzi się twierdzenie, że (xn )’ = nx n-1

= =

= = =

= = =

Podstawowe twierdzenia rachunków pochodnych:

Twierdzenie 1: [(f(x)+g(x)]’= f'(x) +g'(x)

Twierdzenie 2: (a f(x))’= a f'(x)

Twierdzenie 3: [f(x) g(x)]’=

Twierdzenie 4: [ ]’=

Twierdzenie 5 – pochodna funkcji złożonej :
[f(g(x))]’= g'(x) f'(g(x))

Tabelka z wzorami na pochodne:

f(x) f'(x)
c 0
xn nxn-1
sin x cos x
cos x -sin x
ln x
ex e x
arc sin x
arc ctg x

W oparciu o podaną tabelkę i poznane twierdzenia możemy obliczyć pochodne wielu różnych funkcji .

Najprościej oblicza się pochodne wielomianów .

Aby obliczyć pochodne wielomianów ściągamy potęgę i mnożymy przez cyfrę przed x, a potęgę zmniejszamy o 1, pochodna z x wynosi 1, natomiast potęgą z cyfry jest równa 0 i się jej nie pisze

Teraz obliczamy kilkanaście przykładów pochodnych z wielomianów:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18. +12x

19.

20.

21.

22. =

23. = –

24. = +

25. = + 10x + 5

Trzy przykłady obliczania pochodnych z funkcjami trygonometrycznymi:

Kolejno przechodzimy do obliczania pochodnych funkcji wymiernych:

Przykład 1 :

( )’= = = = =

Przykład 2:

( )’= = = =

Przykład 3:

( )’= = = =

Przykład 4:

( )’= = = =

Przykład 5:

( )’= = = =

Przykład 6:

( )’= = = =

Przykład 7:

( )’= = = =

Przykład 8:

( )’= = = =

Przykład 9:

( )’= = = =

Przykład 10:

( )’= = = =

Przykład 11:

( )’= = = =

Przykład 12:

( )’= = = =

Przykład 13:

( )’= =
= =