Szeregi

Szeregiem nazywamy nieskończoną sumę pewnych liczb. Składnikami tej sumy, czyli szeregu, jest pewien ciąg liczbowy. Najprostszym przykładem jest szereg, który jest sumą ciągu wszystkich liczb parzystych.
Nasz ciąg to (an) = (2,4,6,8,10,12…)

Wtedy szeregiem jest suma

2n = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + …

Rozwiążmy kilka przykładów, które pozwolą nam zrozumieć definicję szeregu:

a) Wypisz pięć pierwszych wyrazów szeregu
Rozwiązanie:

= + + + + + …

b) Wypisz pięć pierwszych wyrazów szeregu n2

n2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 +…

Bardzo ważną właściwością szeregów jest zbieżność i rozbieżność.
Szereg jest zbieżny, jeśli ma skończoną granicę, a rozbieżny, jeśli nie ma skończonej granicy

Przykładem szeregu rozbieżnego jest opisany wyżej szereg 2n = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + …,

ponieważ możemy łatwo określić, że każdy kolejny wyraz szeregu jest wyższy od poprzedniego, i wartości wyrazów dążą do nieskończoności – czyli szereg nie ma skończonej granicy.

Przykładem szeregu zbieżnego jest szereg ()2. Szereg ten możemy zapisać w postaci
()2 = + + + +….

Widzimy, że każdy kolejny wyraz szeregu jest coraz mniejszy i zbliża się do zera, lecz nigdy tego zera nie osiągnie. Oznacza to, że granicą tego szeregu jest 0, i jest to szereg zbieżny.

Wiedza o szeregach przyda się między innymi na maturze rozszerzonej, dlatego warto zgłębić i dobrze zrozumieć ten temat.