Wyrażenia algebraiczne

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Czym są wyrażenia algebraiczne i kiedy się z nimi spotykamy?

Wyrażenia algebraiczne – to działania zapisane za pomocą cyfr oraz zmiennych np. x, są to też różne wzory czy też działania gdzie będziemy musieli wyliczyć jakąś literkę zamiast cyferki, czy znaleźć zależności pomiędzy liczbami, mogą one wyglądać w następujący sposób:
– tutaj akurat można zauważyć również funkcję kwadratową, gdzie x jest pewną zmienną.
Wyrażenia algebraiczne mogą być również stosowane do zapisywania różnych zależności w matematyce np.
gdy jeden odcinek |AB| :

a) jest dwa razy dłuższy od odcinka |BC| – zapisujemy jako
2x-odcinek |AB| x-odcinek |BC|

b) jest o dwa dłuższy od odcinka |CD| – zapisujemy jako
x+2 – odcinek |AB| x – odcinek |BC|

inne przykłady:
a) pierwiastek potrojonej liczby z :
b) kwadrat pierwiastka trzeciego stopnia z połowy liczby c :
c) 15% z liczby s :
d) podwojony kwadrat liczby B :
e) połowa iloczynu liczby x i liczby o 2 mniejszej od niej : -> można to też zapisać po uproszczeniu jako
f) różnica liczby x i y :
g) liczbę trzy razy mniejszą od podwójnej liczby J :

dzięki czemu będziemy mogli układać proporcje, czy ułatwić sobie rozwiązywanie zadań, zwłaszcza w zadaniach z geometrii czy planimetrii.

Z wyrażeniami algebraicznymi, możemy się również spotkać w wyrażeniach wielomianowych i wszystkich funkcjach. W takich sytuacjach zazwyczaj dzięki podstawieniu za liczbę x otrzymamy wartość y (mogą być oznaczenia innymi literkami).

Najważniejsze w takich zadaniach jest stosowanie odpowiednich zależności i działań.
Przykładowe zadania:

Oblicz wartość niewiadomej
a) -> w tym przypadku musimy zastosować deltę, gdyż mamy do czynienia z funkcją kwadratową
najpierw wypisujemy współczynniki : a=1 b=-2 c=1
delta =b2 -4ac
delta = 0 – co oznacza, że będzie tylko jedno rozwiązanie
= = 1 <- to jest nasza odpowiedź
b) -> wymnażamy 3 przez nawias i rozpisujemy wszystko -> -> ->teraz przenosimy niewiadome na jedną stronę i wartości na drugą stronę -> ->teraz dzielimy na dwa -> odpowiedź: x =

! MUSIMY PAMIĘTAĆ, ŻE GDY PRZENOSIMY NA DRUGĄ STRONĘ TO ZMIENIAMY ZNAK!
Możemy również spotkać się z zadaniem w którym trzeba będzie zredukować wyrazy podobne
wyrazy podobne to np. 2ab i 4ab, mają one takie same niewiadome, tak samo liczby 3x i -x

2.Zredukuj wyrażenia

a) -> najpierw sprawdzamy które wyrazy są podobne, dla ułatwienia możemy poszeregować i zredukować wyrazy podobne zatem:
teraz zaczynamy redukować wyrazy podobne i otrzymujemy :

b) -> znowu zaczynamy od uszeregowania wyrażeń podobnych -> -> teraz musimy pamiętać, że gdy mamy ten sam mianownik możemy zapisać wszystko nad jedną kreską u góry ale tutaj jest pewien haczyk w postaci minusa przed ułamkiem, który zmieni znaki wyrażenia z -(a-b) na -a+b -> -> teraz przechodzimy do redukcji teraz możemy skrócić ułamek o dwa i otrzymamy co jest równe zero, zatem uprościliśmy całe wyrażenie najbardziej jak się dało.

Możemy również trafić na zadanie, w którym niewiadoma będzie podana i trzeba będzie obliczyć wartość wyrażenia z podstawianiem

3.Oblicz niewiadomą x (oblicz wartość wyrażenia dla x=4)

a) dla x=4
teraz podstawiamy za każdego x liczbę 4: = -> !pamiętamy o kolejności wykonywania działań, najpierw mnożenie/dzielenie! ->
b) dla x=2
= -> tutaj również musimy pamiętać o kolejności wykonywania działań – zaczynamy od wartości z licznika ( tutaj zaczynamy od potęgowania a następnie mnożenia), na samym końcu dzielimy liczbę z licznika przez wartość z mianownika.

Ważnymi wyrażeniami algebraicznymi, które warto znać, gdyż mogą ułatwić nie jedno obliczenie, są wzory skróconego mnożenia – do potęgi drugiej lub trzeciej, te wzory wyglądają następująco:

Zastosowanie takich wzorów ułatwi rozwiązanie zadań z różnych działów. Lecz również trzeba pamiętać tutaj o kolejności wykonywania działań. Na przykład:

4.Ile równa jest liczba:
a) -> zaczniemy od sprawdzenia, którego wzoru użyjemy, tutaj będzie to wzór ->
nasze a=2 natomiast b= , teraz podstawiamy do wzoru mamy nasz końcowy wynik, musimy również pamiętać, że liczby z pierwiastkiem nie możemy odjąć od liczby całkowitej

b) tym razem skorzystamy ze wzoru
nasze a=3 natomiast b= -> teraz podstawiamy do wzoru tutaj również zostawiamy w takiej postaci wynik

c) -> tutaj musimy zacząć od rozpisania pierwszego nawiasu ze wzoru skróconego mnożenia oraz wymnożenia drugiego nawiasu przez cztery, które przed nim stoi:
-> równanie, które z pozoru mogło wydawać się trudne, dzięki wzorowi skróconego mnożenia okazało się wręcz banalne :)) dlatego zachęcam do korzystania z nich jeśli jest to możliwe.

d)
tutaj będziemy mieć do czynienia z dwoma wzorami skróconego mnożenia- pierwszy nawias rozpiszemy ze wzoru -> , natomiast gdy przyjrzymy się dwóm pozostałym nawiasom możemy zauważyć kolejny wzór: zatem możemy zapisać, że nasze a= natomiast b= gdy podstawimy je do wzoru otrzymamy a to się równa -> teraz możemy zająć się całym równaniem:
tym sposobem ponownie w szybki i łatwy sposób rozwiązaliśmy skomplikowane równanie

e) znowu zaczniemy od rozpisania pierwszego nawiasu, ze wzoru skróconego mnożenia i dodamy to co zostało nam po prawej stronie działania -> jak możemy zauważyć naszej liczby z pierwiastkami zredukują się i otrzymamy:

Możemy również spotkać się z zadaniem w którym będziemy musieli zwinąć do wzoru skróconego mnożenia, np w zadaniach na dowód:
5.Jeżeli a+b = 10 to ile wynosi
Możemy zacząć od wyłączenia liczby dwa przed nawias w liczniku -> możemy zauważyć, że w liczniku powstał nam w nawiasie wzór skróconego mnożenia -> teraz możemy podstawić za liczby w nawiasie 10, które było podane w poleceniu, gdyż a+b=10 i otrzymujemy : możemy skrócić zera i jeszcze podzielić przez dwa .
Zatem liczba, której szukaliśmy wynosi .

6.Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci:
a)
nawias rozpisujemy ze wzoru skróconego mnożenia, nie możemy również zapomnieć, że przez nawiasem stoi minus który zmieni znak każdej liczby z tego wyrażenia na przeciwny:
naszą ostateczna odpowiedzią będzie

b)
ponownie rozpisujemy drugi nawias i pamiętamy o zmianie znaku
jest to najprostsza postać do jakiej mogliśmy doprowadzić.

c) -> musimy zacząć od rozpisania wzoru skróconego mnożenia oraz musimy wymnożyć nawiasy przez siebie -> musimy pamiętać o zmianie znaku gdyż przed nawiasem jest minus.
teoretycznie to zadanie można by było zrobić też łatwiejszym sposobem, gdyż mamy tutaj przemycony kolejny wzór skróconego mnożenia =
zawsze w tego typu zadaniach warto zwracać uwagę na to czy znajduje się wzór skróconego mnożenia do którego można zwinąć lub rozpisać oraz bardzo uważnie zwracać uwagę na zmiany znaków.

Kolejnym przykładem wyrażenia algebraicznego jest dwumian Newtona, jest to wzór wykorzystywany w zadaniach z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa i wygląda on następująco:

odczytujemy to jako ” n po k” i rozpisujemy za pomocą silni ( silnia to iloraz liczb, każda z nich o jeden mniejsza od poprzedniej a największą będzie liczba, z której silnia jest tworzona np

7.Zatem musimy rozpisać liczby podane poniżej w taki sposób …. :

a) 5 po 2 -> zapisujemy jako -> (tutaj ważny szczegół, silnie można ze sobą skracać jak zaprezentuję teraz) -> skracamy ze sobą 3! i otrzymujemy

Musimy pamiętać, że aby można było skorzystać z dwumianu newtona liczba k musi być mniejsza bądź równą liczbie n i obydwie muszą być większe bądź równe zero.
b) 10 po 6 -> (teraz skracamy ze sobą silnie i mnożymy lub jeżeli jest to możliwe skracamy ze sobą liczby z licznika i mianownika – jest to możliwe tylko gdy mamy mnożenie!!!!!)
=

Zatem jak można zauważyć rozpisywanie takich wzorów nie jest problematyczne, wystarczy podstawić liczby do wzoru.
c) 12 po 6 -> teraz możemy skrócic ze sobą silnie i pozostałe liczby, jeżeli jest to możliwe. zawsze warto skreślać liczbę przez która dzieliliśmy aby nie pomylić się w przepisywaniu cyfr w kolejnych etapach
d) 7 po 0 -> !każdą liczba „x po 0” będzie wynosiła 1

!SILNIA Z ZERA WYNOSI 1!

d) n po n-1 -> tutaj mamy do czynienia z przypadkiem gdy mamy jakąś liczbę „n”, której wartości nie znamy. Jak dobrze wiemy silna to iloczyn liczb mniejszych od tej z której liczymy silnie, więc każdą kolejna pomniejszana będzie o 1 zatem silnia z n będzie prezentować się następująco -> można tez uprościć taki zapis aby ułatwić sobie obliczanie, np. żeby skrócić ułamki -> lub nawet -> gdyż silnia w liczby o jeden mniejszej, będzie wciąż ciągiem liczb, który należał do poprzedniej silni. Zatem w tym zadaniu mamy: teraz musimy rozpisać jedną z silni aby umożliwiło nam to skrócenie jej z drugą, w tym wypadku lepszym sposobem będzie rozpisanie n! gdyż uzyskamy n*(n-1)! co będzie można skrócić z mianownikiem -> po skróceniu otrzymujemy wynik n.

e)n-1 po n-3 -> znowu zaczniemy od rozpisania. Musimy również pamiętać przy rozpisywaniu o zwracaniu uwagi na znaki, zwłaszcza we wzorze (n-k)! gdzie przed wyrażaniem, które wstawiamy za „K” pojawia się przed nim minus.
tutaj ponownie musimy zastanowić się, rozpisanie której silni przyniesie nam lepszy efekt i będzie w tym wypadku rozpisanie (n-1)! na -> teraz zastosujemy to w naszym wzorze teraz możemy skrócić silnię i liczyć dalej -> teraz możemy zostawić w takiej postaci lub skrócić przez 2 i zapisać w postaci ułamków -> i jest to nasza ostateczna odpowiedź.