Aksjomat

Co to jest aksjomat ?
Wykorzystuje się w logistyce matematycznej (te pojęcie jest uznawane za jedno z podstawowych i najważniejszych pojęć) jest to sformowanie oczywiste – założenie, do którego nie trzeba potwierdzeń, ani żadnych dowodów matematycznych. Teraz w matematyce pojęcie aksjomatu oznacza coś innego, aksjomatem są zadania , do których rozwiązania nie potrzeba znać żadnych teorii ani twierdzeń, gdy robimy takie zadania, dochodzimy do momentu, kiedy dowiadujemy się o faktach, które wynikają ze znanych lub tych mniej znanych twierdzeń lub teorii. Taka właśnie dziedzina nazywa się aksjomatyką. Możemy wyróżnić różne rodzaje aksjomatów na przykład: Euklidesa, von Neumanna czy Hilberta. Z każdego wypowiedzenia, które jest aksjomatem wynika dane założenie oraz teza.

Alfabet geometrii :
Znaków alfabetu geometrii jest bardzo dużo, jednak ja przedstawię trzy symbole relacyjne, które będą dotyczyły dalszej części wypracowania. Każde twierdzenie/teoria należy do jakiegoś alfabetu, w którym jest ona zapisana za pomocą tak zwanego języka matematycznego który zapisuje się za pomocą pojedynczych liter, symboli logiki matematycznej oraz cyfr. W alfabecie geometrii pojawia się pojęcie symbolu relacyjnego – jest to podobne do relacji matematycznej, która jest częścią logiki matematycznej, jednak pomiędzy tymi pojęciami zachodzą pewne różnice, relacja matematyczna jest określeniem zbioru w których można wyróżnić związki logiczne, które nazywamy relacjami. Relacjami w różnych zbiorach mogą być na przykład znaki równości (=), mniejszości (<), lub większości (>). Pod pojęciem symbolu relacyjnego nie możemy określić zbioru liczb, ponadto symbol relacyjny może nie mieć argumentów, ale też może ich mieć bardzo dużo, nie może mieć liczby argumentów mniejszej od zera. Symbole relacyjne:

Pu(z) – jeżeli uznamy to za słuszne, to będziemy mogli stwierdzić, że „z” jest punktem.
Pr(z) – jeżeli uznamy to za słuszne, to będziemy mogli stwierdzić, że „z” jest prostą.
L(m,O) – jeżeli uznamy to za słuszne, to będziemy mogli stwierdzić, że „O” jest punktem, który należy na prostej „m”.

Kiedyś mówiło się w pojęciu logiki matematycznej, że wypowiedzenia „punkt leży na prostej” to pojęcia pierwotne. Jednak teraz takich pojęć używa się bardzo rzadko a nawet można powiedzieć że wcale. Kiedy rozważamy na dany temat musimy przyjąć, że dany symbol może być słuszny, ale też może okazać się nieprawdziwy – trzeba rozważać i tę opcję. Dopiero, kiedy zaczynamy robić/udowadniać daną teorię, wtedy ten symbol relacyjny zaczyna być istotny. Wykorzystując znaki relacyjne podane przeze mnie powyżej sformułuję zdanie, czyli inaczej twierdzenie geometryczne, posługując się językiem logiki matematycznej (w tym wykorzystuję też symbole, które wytłumaczę w dalszej części wypracowania). Uwaga. Gdy chcę udowodnić daną teorię matematyczną, muszę użyć do tego innych, wcześniej odkrytych twierdzeń.

Ten zapis oznacza, że jeżeli „E” oraz „F” są punktami, to istnieje taka prosta „p”, do której należą punkty „E” oraz „F”.

Symbole wykorzystywane w języku logiki matematycznej (podaję tylko trzy, bo tylko ona są wykorzystane w zdaniu powyżej):
„” – wprowadza do drugiej części zdania, która mówi nam jak jest po spełnieniu danego warunku.
„” – oznacza spójnik występujący w danym wypowiedzeniu. Np: „i”, „oraz”, wstawiamy ten znak pomiędzy symbole relacyjne.
„” – mówi nam o istnieniu danego założenia. W tym przypadku jest to sformowanie – to istnieje taka prosta „p” – oznaczenie prostej piszemy po prawej części znaku na dole.

Możemy też zapisywać aksjomaty słownie. Na przykład: Jak punkt „N” znajduje się między punktami „R” oraz „F” to istnieje taka prosta na której leżą trzy różne punkty, są to punkty, „N”, „R” oraz „F”. Albo, że jeżeli liczba „D” jest liczbą naturalną, to jest też liczbą dodatnią. Możemy też w takim razie powiedzieć ,że jeżeli liczba „D” jest liczbą naturalną, to jest też liczbą całkowitą.

Napisałam wcześniej, że Z każdego wypowiedzenia, które jest aksjomatem wynika dane założenie oraz teza. Teraz rozwinę głębiej to pojęcie. Jeżeli dane zdanie, napisane słownie lub odpowiednim zapisem zaczyna się założeniem i kończy tezą, to mówimy o twierdzeniu prostym, lecz jeżeli dane zdanie zaczyna się tezą i kończy założeniem, to mówimy o twierdzeniu odwrotnym. W twierdzeniach prostych i odwrotnych zakładamy, że dane tezy i założenia są prawdziwe, czyli nie tworzymy ich poprzez zaprzeczenie. Jeżeli chodzi o twierdzenia przeciwne, to zaczynają się one założeniem i kończą tezą, a w twierdzeniach przeciwstawnych (kontrapozycyjnych) jest odwrotnie, czyli zaczynają się one twierdzeniem, a kończą założeniem. Uwaga. Twierdzeń przeciwnych oraz przeciwstawnych (kontrapozycyjnych) używamy kiedy założenia oraz tezy są formułowane poprzez zaprzeczenie.

Przykład twierdzenia prostego:
Jak punkt „N” znajduje się między punktami „R” oraz „F” to istnieje taka prosta na której leżą trzy różne punkty, są to punkty, „N”, „R” oraz „F”.

Przykład twierdzenia odwrotnego:
Liczba „D” jest liczbą naturalną, jeżeli jest liczbą różną od zera oraz dodatnią.

Przykład twierdzenia przeciwnego:
Jeżeli liczba „D” nie jest liczbą dodatnią, to nie jest liczbą naturalną.

Przykład twierdzenia przeciwstawnego (kontrapozycyjnego):
Liczba „D” nie jest liczbą naturalną, jeżeli nie jest liczbą różną od zera oraz dodatnią.

Metody uzasadniania:

metoda wprost : zakładamy, że założenia i tezy podane w zadaniach są prawdziwe.

metoda nie wprost :zakładamy, że założenia i tezy podane w zadaniach nie są prawdziwe.

Zadanie 1:
Udowodnij, że Liczba „D” jest liczbą naturalną, jeżeli jest liczbą różną od zera oraz dodatnią.

Zadanie 2:
Jak ułamek jest nieskracalny, to udowodnij, że nieskracalny będzie też ułamek .

Odpowiedź 1:
Założenie : Jeżeli jest liczbą różną od zera oraz dodatnią.
Teza : Liczba „D” jest liczbą naturalną.
W tym przypadku udowodnimy to za pomocą twierdzenia odwrotnego, bo zdanie zaczyna się tezą i kończy założeniem oraz teza i założenie nie są skonstruowane poprzez zaprzeczenie. By to udowodnić, musimy wiedzieć, że liczby naturalne, to liczby całkowite dodatnie. A liczby całkowite to zbiór liczb całkowitych dodatnich oraz ujemnych i zera. Gry w tym zbiorze nie będzie liczby „0” oraz liczb ujemnych, zostaną nam tylko liczby całkowite dodatnie, a liczby naturalne, to liczby całkowite dodatnie.

Odpowiedź 2:
Teza : nieskracalny będzie też ułamek
Założenie : Jak ułamek jest nieskracalny
Jest to przykład twierdzenia prostego, lecz do uzasadnienia tego przykładu zastosujemy metodę nie wprost, czyli uznajmy, że założenie jest nieprawdziwe i teza też nie jest prawdziwa. W takim razie, zakładamy, że skracalny jest ułamek i skracalny będzie też ułamek . Trzeba teraz udowodnić że ułamek jest skracalny. Skoro ułamek jest skracalny, to oznacza, że jego górna część (licznik) oraz dolna część (mianownik) są podzielne przez taką samą liczbę, wiemy że ta liczba musi być większa od 1, oznaczmy ją jako „x”. Uznajmy, że wynikami ilorazu są liczby „v” oraz „y” W takim razie możemy zapisać, że :
= v
= y
Przekształcając te dwa wzory możemy otrzymać:
f-e=xv
f=xy
(f-e)-f=xv-xy
-e=x(v-y) *(-1)
e=x(y-v)
=(y-v)
Jak widać powyżej,” = y”, oraz ” =(y-v)” czyli ułamek musi być skracalny (taki miał być, bo wybraliśmy metodę nie wprost).