Dzielenie wielomianów

Dzielenie wielomianów

Wstęp:
W tym opracowaniu dowiesz się jak wykonywać dzielenie wielomianów, co przećwiczysz na wielu przykładach.

Po co dzieli się wielomiany:
Załóżmy, że mamy dany wielomian w(x), który jest podzielny przez wielomian t(x). W wyniku tego dzielenia powstaje nam nowy wielomian u(x). Zauważmy, że skoro w(x) : t(x) = u(x) to tym samym w(x) = t(x) u(x), czyli wielomian w(x) można przedstawić jako iloczyn wielomianów t(x) oraz u(x). Przedstawienie jednego wielomianu w postaci iloczynu kilku prostszych jest niezwykle przydatne podczas rozwiązywaniu równań wielomianowych, a to z kolei pozwala nam (w wielkim uproszczeniu) stwierdzić jak wygląda wykres danej funkcji wielomianowej.

Dzielenie wielomianów:
Dzielenie wielomianów wykonuje się w podobny sposób, co dzielenie pisemne liczb naturalnych. Załóżmy, że mamy podzielić wielomian w(x) = x2 + x – 2 przez wielomian t(x) = (x – 1). Wykonujemy dzielenie pisemne:

(x2 + x – 2) : (x – 1) = ? (Zadajemy sobie pytanie: przez jakie wyrażenie musi zostać pomnożony „x” aby otrzymać „x2„?)

(x2 + x – 2) : (x – 1) = x (Jest to oczywiście „x” , bo x x = x2)
Teraz mnożymy całe wyrażenie (x – 1) razy „x” a wynik zapisujemy pod dzielonym wielomianem (x2 + x – 2):

(x2 + x – 2) : (x – 1) = x
x2 – x (Wykonujemy odejmowanie pisemne wielomianów)
———-
2x – 2
(Operacje powtarzamy: znów zadajemy sobie pytanie: przez jakie wyrażenie musi zostać pomnożony „x” aby otrzymać „2”? Jest to oczywiście 2, bo 2 x = 2x)

(x2 + x – 2) : (x – 1) = x + 2
x2 – x
———-
2x – 2
Teraz mnożymy wyrażenie (x – 1) razy 2. Wynik zapisujemy pod 2x – 2 i wykonujemy odejmowanie pisemne:

(x2 + x – 2) : (x – 1) = x + 2
x2 – x
———-
2x – 2
2x – 2
———-
0 (reszta z dzielenie wynosi w tym wypadku 0)

A zatem w wyniku dzielenia wielomianu (x2 + x – 2) przez (x – 1) otrzymujemy wyrażenie (x + 2)

(Dzielenie wielomianów (np. w(x) : t(x)) przeprowadza się zatem w kilku etapach:
– z wielomianu, który chcemy podzielić (w(x)), wybieramy jednomian z „iksem” o najwyższej potędze i dzielimy go przez pierwszy wyraz dzielnika (t(x))
– powstałe wyrażenie mnożymy razy t(x) (a wynik zapisujemy pod w(x))
– odejmujemy pisemnie
– powstaje nam nowe wyrażenie, dla którego powtarzamy powyższe operacje
– operacje powtarzamy tak długo, aż otrzymamy resztę)
Aby lepiej i sprawniej wykonywać dzielenie wielomianów wykonajmy poniższe przykłady.

Przykład 1:
Wykonaj dzielenie podanych wielomianów:
a) (x2 – 16) : (x – 4)
b) (5x2 + x – 4) : (x + 1)
c) (x3 – 4x – 15) : (x – 3)
d) (2x3 + 15x2 + 12x – 36) : (x + 6)

a) Wykonujemy dzielenie pisemne:

(x2 – 16) : (x – 4) = x (Dzielimy x2 przez x, w wyniku czego otrzymujemy x)
x2 – 4x (Następnie mnożymy x razy (x – 4) co daje nam (x2 – 4x))
———- (Odejmujemy (x2 – 4x) od (x2 – 16))
4x – 16

(x2 – 16) : (x – 4) = x + 4 (Dzielimy 4x przez x, w wyniku czego otrzymujemy 4)
x2 – 4x (Następnie mnożymy 4 razy (x – 4) co daje nam (4x – 16))
———- (Odejmujemy (4x – 16) od (4x – 16))
4x – 16
4x – 16
———- (reszta z dzielenia wynosi 0)
0
A zatem w wyniku dzielenia wielomianów (x2 – 16) : (x – 4) otrzymujemy wielomian (x + 4).

b) Analogicznie jak w podpunkcie „a” wykonujemy dzielenie pisemne:

(5x2 + x – 4) : (x + 1) = 5x (Dzielimy 5x2 przez x, w wyniku czego otrzymujemy 5x)
5x2 + 5x (Następnie mnożymy 5x razy (x + 1) co daje nam (5x2 + 5x))
———- (Odejmujemy (5x2 + 5x) od (5x2 + x – 4))
-4x – 4

(5x2 + x – 4) : (x + 1) = 5x – 4 (Dzielimy -4x przez x, w wyniku czego otrzymujemy -4)
5x2 + 5x (Następnie mnożymy -4 razy (x + 1) co daje nam (4x – 16))
———- (Odejmujemy (4x – 16) od (4x – 16))
-4x – 4
-4x – 4
———- (reszta z dzielenia wynosi 0)
0
A zatem w wyniku dzielenia wielomianów (5x2 + x – 4) : (x + 1) otrzymujemy wielomian (5x – 4).

c) Wykonujemy dzielenie pisemne:

(x3 – 4x – 15) : (x – 3) = x2 (Dzielimy x3 przez x, w wyniku czego otrzymujemy x2)
x3 – 3x2 (Następnie mnożymy x2 razy (x – 3) co daje nam (x3 – 3x2))
———- (Wykonujemy odejmowanie)
3x2 -4x – 15

(x3 – 4x – 15) : (x – 3) = x2 + 3x (Dzielimy 3x2 przez x, w wyniku czego otrzymujemy 3x)
x3 – 3x2 (Następnie mnożymy 3x razy (x – 3) co daje nam (3x2 – 9x))
———- (Wykonujemy odejmowanie)
3x2 – 4x – 15
3x2 – 9x
———-
5x – 15

(x3 – 4x – 15) : (x – 3) = x2 + 3x + 5 (Dzielimy 5x przez x, w wyniku czego otrzymujemy 5)
x3 – 3x2 (Następnie mnożymy 5 razy (x – 3) co daje nam (5x – 15))
———- (Wykonujemy odejmowanie)
3x2 – 4x – 15
3x2 – 9x
———-
5x – 15
5x – 15 (reszta z dzielenia wynosi 0)
———-
0
A zatem w wyniku dzielenia wielomianów (x3 – 4x – 15) : (x – 3) otrzymujemy wielomian (x2 + 3x + 5).

d) Wykonujemy dzielenie pisemne

(2x3 + 15x2 + 12x – 36) : (x + 6) = 2x2 + 3x – 6 (Wykonujemy poszczególne etapy dzielenia pisemnego
2x3 + 12x2 wielomianów tak samo jak w powyższych podpunktach)
———-
3x2 + 12x – 36
3x2 + 18x
———-
-6x – 36
-6x – 36 (reszta z dzielenia wynosi 0)
———-
0
A zatem w wyniku dzielenia wielomianów (2x3 + 15x2 + 12x – 36) : (x + 6) otrzymujemy wielomian (2x2 + 3x – 6).

Dzielenie wielomianów z resztą:
Czasem jest tak, że przy dzieleniu wielomianów może nam wyjść reszta różna od zero, czyli przy dzieleniu wielomianu w(x) przez t(x) powstaje nam wielomian u(x) oraz pewna reszta „r”. Zapisujemy to w następujący sposób:
w(x) : t(x) = u(x) i pewna reszta „r”, czyli wtedy: w(x) = u(x) t(x) + r.

Przykład 2:
Wykonaj dzielenie podanych wielomianów:
a) (4x2 – 2x + 2) : (2x – 1)
b) (27x3 + 9x2 – 3x) : (3x + 1)

a) Wykonujemy dzielenie pisemne:

(4x2 – 2x + 2) : (2x – 1) = 2x (Dzielimy 4x2 przez 2x, w wyniku czego otrzymujemy 2x)
4x2 – 2x (Następnie mnożymy 2x razy (2x – 1) co daje nam (4x2 – 2x))
———- (Wykonujemy odejmowanie)
2
Reszta z dzielenia w tym przypadku wynosi 2. Oznacza to, że wielomian (4x2 – 2x + 2) powstaje przez pomnożenie (2x – 1) z 2x i dodanie do tego iloczynu jeszcze 2 (naszej reszty), czyli (4x2 – 2x + 2) = (2x – 1) 2x + 2.
A zatem w wyniku dzielenia wielomianów (4x2 – 2x + 2) : (2x – 1) otrzymaliśmy wielomian (x + 4) i resztę 2.

b) Wykonujemy dzielenie pisemne:

(27x3 + 9x2 – 3x) : (3x + 1) = 9x2 – 1 (Dzielimy 27x3 przez 3x, w wyniku czego otrzymujemy 9x2)
27x3 + 9x2 (Następnie mnożymy 9x2 razy (3x + 1) co daje nam (27x3 + 9x2))
———- (Wykonujemy odejmowanie)
– 3x (Dzielimy -3x przez 3x, w wyniku czego otrzymujemy -1)
– 3x – 1 (Następnie mnożymy -1 razy (3x + 1) co daje nam (-3x – 1))
———- (Wykonujemy odejmowanie)
1
Reszta z dzielenia w tym przypadku wynosi 1. Oznacza to, że wielomian (27x3 + 9x2 – 3x) powstaje przez pomnożenie (3x + 1) z (9x2 – 1) i dodanie do tego iloczynu jeszcze 1 (naszej reszty), czyli (27x3 + 9x2 – 3x) = (3x + 1) (9x2 – 1) + 1.
A zatem w wyniku dzielenia wielomianów (27x3 + 9x2 – 3x) : (3x + 1) otrzymaliśmy wielomian (9x2 – 1) i resztę 1.

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się jak wykonywać dzielenie pisemne wielomianów. Przyswoiłeś także zdobytą wiedzę analizując wiele przykładów z tego tematu.