E^x

W podanym opracowaniu rozważamy funkcje która jest szczególnym przykładem funkcji wykładniczej tzn. funkcji postaci (określonej dla > ) . W kolejnych krokach postaramy się odpowiedzieć na cztery postawione poniżej pytania
Jak wygląda wykres funkcji ?
Jakie są podstawowe własności tej funkcji ?
Jak zapisać tą funkcję w postaci szeregu ?
Jaka jest całka nieoznaczone tej funkcji ?

Zanim zaczniemy przypomnijmy, że liczba występująca we wzorze funkcji definiuje się jako granica ciągu liczbowego o wyrazie ogólnym tj.:

lub jako sumę szeregu:

oraz że, wynosi ona w przybliżeniu do drugiego miejsca po przecinku ().

Funkcja f(x) dla x=0 przyjmuje wartość bo:
Funkcja f(x) dla x=1 przyjmuje wartość bo:
Funkcja f(x) dla x=2 przyjmuje wartość bo:
stąd szkic wykres funkcji to wykres przedstawiony na poniższym rysunku

Możemy dzięki niemu zapisać kolejne własności funkcji :

1)Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych:
2)Zbiorem wartości funkcji jest przedział:
3)Monotoniczność funkcji: funkcja jest funkcją rosnącą
4)Miejsce zerowe: funkcja nie posiada miejsca zerowego
5)Punkt przecięcia z osią OX: brak punktów przecięcia z osią OX
6)Punkt przecięcia z osią OY:
7)Asymptota pionowa: brak
8)Asymptota pozioma: y=0
9)Granica funkcji :

Jeśli określimy pochodną funkcji tj.

to możemy sformułować poniższy wniosek:
Wniosek: Dla każdego dowolnie wybranego argumentu funkcji współczynnik kierunkowy prostej stycznej jest równy wartości jaką osiąga funkcja dla tego argumentu.

Znając pochodną funkcji możemy przedstawić ją w postaci szeregu-wykorzystując wzór Maclaurina:
Przypomnijmy wzór Maclaurina:

Otrzymujemy kolejno dla:

itd.

że wartości kolejnych pochodnych są równe 1 dla argumentu 0).

stąd:

czyli:

Całka nieoznaczona funkcji :