Opracowanie:
Relacje
Relacje
Relacje – co to jest ?
Wykorzystuje się w logice matematycznej. Relacje można podzielić na kategorie do których one należą (o tym później). „Relacją” nazywamy istnienie pewnych związków logicznych zachodzących pomiędzy dowolnymi elementami zbiorów. W zbiorze liczb rzeczywistych
Jeżeli chodzi o związki logiczne zachodzące między elementami liczb rzeczywistych, to możemy wyróżnić dwa rodzaje:
relacja równości – do określenia tej relacji, używamy znaku „=”.
relacja mniejszości – do określenia tej relacji, używamy znaku „<". Ten znak możemy zapisywać jako zamiennik relacji większości. Ponieważ załóżmy, że e>f, gdzie „e”, oraz „f” należą do zbioru liczb rzeczywistych. Jeżeli „e” jest większe od „f”, to w takim razie „f” jest mniejsze od „e”, więc relacje można zapisać f
Tutaj warto wspomnieć o prawie trychotomii, które mówi, że w każdej relacji dwóch elementów w zbiorze liczb rzeczywistych zachodzi dokładnie jedna relacja spośród tych:
e=f
e
Liczby „e” oraz „f” są elementami zbioru liczb rzeczywistych, czyli każdą liczbą. Oznacza to, że biorąc każde dwie dowolne liczby, porównując je, możemy zauważyć, że pierwsza liczba jest większa, albo pierwsza liczba jest mniejsza, albo pierwsza liczba jest równa drugiej.
Relacja równowartościowa:
W relacja jest równowartościowa, jeżeli zachodzą w niej odpowiednie trzy zależności, które są jednocześnie spełnione. Inaczej relacja nie może być nazwana równowartościową. Załóżmy, że relację oznaczam jako symbol 
. Teraz przedstawię te trzy warunki:
relacja jest zwrotna, kiedy zachodzi prawidłowość ee, co oznacza, jeżeli symbol oznacza relację równości, wtedy ta relacja jest zwrotna.
relacja jest symetryczna, kiedy zachodzi prawidłowość 
.
relacja jest przechodnia, kiedy zachodzi prawidłowość 
.
Znaki użyte w zapisie logicznym podanym powyżej:
„
” – koniunkcja, czyli zależność „i”
„
” – Jeżeli lewa strona jest spełniona, to zachodzi prawidłowość prawej strony.
W ten sposób możemy stwierdzić, że relacja równości jest relacją równowartościową. Spełnione są trzy wyżej wspomniane warunki: relacja równości jest zwrotna (a=a). jest symetryczna (a=b b=a) oraz przechodnia (a=b b=c a=c). Rozważając natomiast relację mniejszości, okazuje się, że nie spełnia ona warunków zwrotności oraz symetryczności i mimo, że spełnia warunek przechodniości (a b a
Relacja jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów.
Co to jest iloczyn kartezjański zbiorów?
Dane są dwa zbiory: trójelementowy X={a,b,c} oraz dwuelementowy Y={d,e}.
Iloczyn kartezjański zbiorów X i Y oznaczamy symbolem 
i definiujemy jako zbiór wszystkich par elementów, w których pierwszym elementem z pary jest element zbioru X, a drugim – element zbioru Y. W ten sposób otrzymujemy zbiór: ={(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e)}
Relacja „większe lub równe” (
) jest zbiorem par np. (3,3),(10,2),(2223,100) ale nie zachodzi dla par (2,5) czy (100,101). Zatem można powiedzieć, że relacja jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbiorów – w tym przypadku 
, gdzie 
jest zbiorem liczb naturalnych.
Inne rodzaje relacji:
Relacja jest przeciwzwrotna:
Oznacza ona, że dla każdej pary liczb (na przykład „x” oraz „y”) nie zachodzi relacja xy.
Relacja jest przeciwsymetryczna:
Oznacza ona, że dla każdej pary liczb (na przykład „z” oraz „s”) jeśli spełniony jest warunek zs, to wtedy spełniony jest warunek ~sz. Znak „~” oznacza w tym przypadku, zaprzeczenie (nieprawda, że). Przykładem relacji przeciwsymetrycznej jest relacja mniejszości, ponieważ, kiedy z
Relacja jest antysymetryczna:
Oznacza ona, że dla każdej pary liczb (na przykład „e” oraz „f”) jeśli spełniony jest warunek ef, oraz warunek fe, to zachodzi relacja „e” jest równe „f”, można to zapisać w postaci: 
. Przykładem takiej relacji jest relacja mniejsza lub równa albo większa lub równa. Zapiszemy to w postaci: 