Trójkąt

Trójkąt

Podział trójkątów ze względu na miary kątów:

Trójkąt ostrokątny jest trójkątem, którego wszystkie kąty mają mniej niż 90°, czyli są kątami ostrymi.
Trójkąt rozwartokątny jest trójkątem, którego jeden kąt ma miarę powyżej 90°, czyli jest kątem rozwartym.
Trójkąt prostokątny to taki trójkąt, którego jeden z kątów ma miarę 90°, czyli jest kątem prostym.

Podział trójkątów ze względu na boki:

Trójkąt równoramienny to taki trójkąt, którego ramiona mają taką samą długość.
Trójkąt różnoboczny jest trójkątem, którego wszystkie boki są różnej długości.
Trójkąt równoboczny jest trójkątem, którego wszystkie boki mają taką samą długość.

Obliczanie obwodu trójkąta

Żeby obliczyć obwód trójkąta musimy dodać do siebie długości wszystkich jego boków.

Wzór na obwód trójkąta różnobocznego

– obwód trójkąta różnobocznego
– długość jednego boku trójkąta różnobocznego
– długość drugiego boku trójkąta różnobocznego
– długość trzeciego boku trójkąta różnobocznego

Wzór na obwód trójkąta równoramiennego

– obwód trójkąta równoramiennego
– długość podstawy trójkąta równoramiennego
– długość jednego ramienia trójkąta równoramiennego

Wzór na obwód trójkąta równobocznego

– obwód trójkąta równobocznego
– długość jednego boku trójkąta równobocznego

Obliczanie pola trójkąta

Pola wszystkich trójkątów obliczamy w ten sam sposób z wyjątkiem pola trójkąta równobocznego. Żeby obliczyć pole trójkąta musimy długość jego podstawy pomnożyć razy wysokość, a następnie podzielić na dwa.

Wzór na pole trójkąta

– pole trójkąta
– długość podstawy trójkąta
– wysokość trójkąta

Obliczanie pola trójkąta równobocznego

Żeby obliczyć pole trójkąta równobocznego musimy długość jego jednego boku podnieść do kwadratu, a a następnie pomnożyć razy i podzielić na cztery.

Wzór na pole trójkąta równobocznego

P – pole trójkąta równobocznego
a – długość jednego boku trójkąta równobocznego

Wzór na wysokość trójkąta równobocznego

– wysokość trójkąta równoramiennego
– długość boku trójkąta równoramiennego

Zadanie 1
Oblicz pole i obwód trójkąta równobocznego, którego jeden bok ma długość 4 cm.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia obwodu tego trójkąta. Żeby to zrobić musimy pomnożyć długość jego jednego boku, czyli 4 cm razy 3, ponieważ wiemy, że trójkąt ma trzy boki.

Obwód tego trójkąta równobocznego wynosi 12 cm.

Następnie obliczamy pole tego trójkąta podnosząc długość jego jednego boku, czyli 4 cm do kwadratu, a następnie mnożąc razy i dzieląc na cztery.

Odpowiedź: Pole tego trójkąta równobocznego wynosi 12 cm, a jego pole jest równe .

Zadanie 2
Anastazja i Barbara rysowały na kartce trójkąty. Anastazja narysowała trójkąt równoramienny, którego jedno ramię ma długość 7 cm, podstawa tego trójkąta jest równa 10 cm. Barbara narysowała trójkąt równoboczny, którego jeden bok ma długość 9 cm. Oblicz i porównaj obwody obu tych trójkątów.

Rozwiązanie:
Na początek obliczamy obwód trójkąta, który narysowała Anastazja. Żeby to zrobić musimy skorzystać ze wzoru na obwód trójkąta równoramiennego, czyli .

Obwód trójkąta równoramiennego narysowanego przez Anastazję wynosi 24 cm.

Teraz obliczamy obwód trójkąta równobocznego narysowanego przez Barbarę. Żeby to zrobić musimy pomnożyć razy trzy długość jego jednego boku, czyli 9 cm.

Obwód trójkąta narysowanego przez Barbarę wynosi 27 cm, a obwód trójkąta, który narysowała Anastazja jest równy 24 cm, zatem Barbara narysowała trójkąt o większym obwodzie niż Anastazja.

Zadanie 3
Dominika narysowała w zeszycie trójkąt równoboczny, którego jeden bok ma długość 8 cm. Oblicz długość wysokości tego trójkąta.

Rozwiązanie:
Żeby obliczyć długość wysokości tego trójkąta musimy długość jego jednego boku, czyli 8 cm pomnożyć razy i podzielić na dwa.

Odpowiedź: Wysokość tego trójkąta równobocznego ma długość .

Zadanie 4
Oblicz pole i obwód trójkąta równoramiennego, którego wysokość ma długość 6 cm, podstawa tego trójkąta wynosi 16 cm, a jego jedno ramię ma długość 10 cm.

Rozwiązanie:
Najpierw obliczamy obwód tego trójkąta dodając do siebie długość jego wszystkich trzech boków.

Obwód tego trójkąta wynosi 36 cm.

Teraz obliczamy pole tego trójkąta mnożąc jego wysokość, która wynosi 6 cm razy długość jego podstawy, a następnie dzielimy na dwa.

Pole tego trójkąta równoramiennego wynosi 48 cm2.

Odpowiedź: Obwód tego trójkąta wynosi 36 cm, a jego pole jest równe 48 cm2.

Zadanie 5
Oblicz ile wynosi wysokość trójkąta równoramiennego, którego podstawa ma długość 8 cm, a jego pole jest równe 12 cm2.

Rozwiązanie:
Żeby obliczyć długość wysokości tego trójkąta musimy jego pole, czyli 12 cm2 pomnożyć razy dwa, a następnie podzielić przez 8 cm.

/
/

Odpowiedź: Wysokość tego trójkąta równobocznego ma długość 3 cm.

Zadanie 6
Ania narysowała na kartce trzy trójkąty z czego jeden z nich pokolorowałam na żółto, drugi na niebiesko, a trzeci na różowo. Żółty trójkąt ma podstawę o długości 7cm i wysokość równą 8 cm. Podstawa niebieskiego trójkąta ma długość 9 cm, a jego wysokość wynosi 5 cm. Różowy trójkąt ma podstawę długości 10 cm, a jego wysokość jest równa 4 cm. Oblicz, który z tych trzech trójkątów ma największe pole.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pola żółtego trójkąta. Żeby to zrobić musimy pomnożyć jego wysokość, która ma długość 8 cm razy jego podstawę, która wynosi 7 cm, a następnie podzielić na dwa.

Pole żółtego trójkąta wynosi 28 cm2

Następnie obliczamy pole niebieskiego trójkąta, którego wysokość ma długość 5 cm, a jego podstawa jest równa 9 cm.

Pole niebieskiego trójkąta wynosi 22,5 cm2.

Na koniec obliczamy pole różowego trójkąta mnożąc długość jego podstawy, czyli 10 cm razy wysokość równą 4 cm.

Pole różowego trójkąta wynosi 20 cm2.

Odpowiedź: Żółty trójkąt ma największe pole.

Zadanie 7
Oblicz pole trójkąta równoramiennego, którego obwód wynosi 50 cm, a jego jedno ramię ma długość 13 cm. Wysokość tego trójkąta ma długość 5 cm.

Rozwiązanie:
Najpierw musimy obliczyć długość podstawy tego trójkąta. Możemy to zrobić odejmując od jego obwodu długości obu jego ramion.

Podstawa tego trójkąta ma 24 cm.

Teraz możemy obliczyć pole tego trójkąta mnożąc jego podstawę równą 24 cm razy wysokość, która ma długość 5 cm, a następnie dzieląc na dwa.

Odpowiedź: Pole tego trójkąta równoramiennego wynosi 60 cm2.

Zadanie 8
Oblicz pole trójkąta równobocznego, którego wysokość ma długość .

Rozwiązanie:
Aby obliczyć pole tego trójkąta najpierw musimy dowiedzieć się jaką długość ma jeden bok tego trójkąta. Żeby to zrobić musimy podłożyć długość wysokości tego trójkąta do wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, a następnie obliczyć długość jednego boku za pomocą równania.

/
/

Wiemy już, że jeden bok tego trójkąta ma długość 6 cm.

Teraz możemy obliczyć pole tego trójkąta.

Odpowiedź: Pole tego trójkąta równobocznego wynosi 9 cm2.

Zadanie 9
Oblicz obwód i pole trójkąta równobocznego, którego wysokość ma długość .

Rozwiązanie:
Na początek musimy obliczyć długość jednego boku tego trójkąta.

/
/

Jeden bok tego trójkąta ma długość 20 cm.

Następnie obliczamy obwód tego trójkąta mnożąc długość jego jednego boku, czyli 20 cm razy 3.

Obwód tego trójkąta równobocznego wynosi 60 cm.

Następnie obliczamy pole tego trójkąta podnosząc długość jego jednego boku, czyli 20 cm do kwadratu, a następnie mnożąc razy i dzieląc na cztery.

Odpowiedź: Pole tego trójkąta równobocznego wynosi .

Zadanie 10
Oblicz długość wysokości trójkąta równobocznego, którego pole wynosi .

Rozwiązanie:
Najpierw obliczamy długość jednego boku tego trójkąta. Żeby to zrobić musimy podłożyć pole tego trójkąta pod wzór na pole trójkąta równobocznego, a następnie obliczyć długość boku tego trójkąta za pomocą równania.

/
/
/

Jeden bok tego trójkąta ma długość 16 cm.

Następnie obliczamy długość wysokości tego trójkąta równobocznego, mnożąc długość jego jednego boku, czyli 16 cm razy , a następnie dzieląc na dwa.

Odpowiedź: Wysokość tego trójkąta równobocznego ma długość .

Zadanie 11
Joanna wycięła z kartonu dwa trójkąty równoramienne. Wysokość pierwszego trójkąta ma długość 12 cm, a jego podstawa jest równa 10 cm. Wysokość drugiego trójkąta równoramiennego wynosi 13 cm, a jego podstawa ma długość 9 cm. Oblicz ile wynosi suma pól obu tych trójkątów.

Rozwiązanie:
Na początek obliczamy pole trójkąta, którego wysokość wynosi 12 cm, a podstawa jest równa 10 cm. Żeby to zrobić musimy długość jego podstawy, czyli 10 cm pomnożyć razy jego wysokość, która wynosi 12 cm, a następnie podzielić na dwa.

Pole pierwszego trójkąta równoramiennego wynosi 60 cm2.

Teraz obliczamy pole drugiego trójkąta mnożąc jego wysokość równą 13 cm razy jego podstawę, która wynosi 9 cm, a następnie dzieląc ma dwa.

Teraz możemy obliczyć ile wynosi suma pól obu tych trójkątów dodając 60 cm2 do 58,5 cm2.

Odpowiedź: Suma pól obu tych trójkątów równoramiennych wynosi 118,5 cm2.