Argument liczby zespolonej

Argument liczby zespolonej

Wstęp:
W tym opracowaniu przypomnisz sobie czym była interpretacja geometryczna oraz moduł liczby zespolonej, a przede wszystkim dowiesz się czym jest argument liczby zespolonej.

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej – przypomnienie:
Dowolną liczbę zespoloną możemy potraktować jako punkt na tzw. płaszczyźnie zespolonej. Płaszczyzna zespolona wygląda bardzo podobnie do klasycznego układu współrzędnych, z tą różnicą, że zamiast osi OX jest tu oś liczb rzeczywistych (Re), a zamiast osi OY jest oś liczb urojonych (Im):

Przykład liczby zespolonej: (3 + 2i) zaznaczonej na płaszczyźnie zespolonej.

Moduł liczby zespolonej – przypomnienie:
Moduł danej liczby zespolonej możemy potraktować jako odległość (na płaszczyźnie zespolonej) między zerem, a daną liczbą zespoloną:

A zatem moduł IzI dowolnej liczby zespolonej postaci z = a + bi możemy policzyć za pomocą wzoru:
IzI =

Argument liczby zespolonej:
Argumentem liczby zespolonej nazywamy kąt (a dokładniej wartość tego kąta wyrażoną w radianach) pomiędzy osią liczb rzeczywistych (Re), a odcinkiem będącym modułem danej liczby zespolonej. Kąt ten oznaczany jest grecką literą „fi” (φ):

A zatem prawdziwa jest oznaczenie:

Równocześnie, dla liczby zespolonej postaci z = a + bi, prawdziwe są następujące własności (korzystając z własności funkcji trygonometrycznych):
sin φ =
cos φ =

Przykładowo załóżmy, że chcemy policzyć argument liczby zespolonej z = 2 + 2i (a = 2 oraz b = 2). Wtedy IzI = = = = = . Wówczas:




A zatem φ musi być równe , czyli .

Podsumowanie:
Z tego opracowania przypomniałeś sobie czym była interpretacja geometryczna oraz moduł liczby zespolonej, a co najważniejsze dowiedziałeś się czym jest argument liczby zespolonej.