Dystrybuanta

Dystrybuanta jest to matematyczna funkcja, która równa jest prawdopodobieństwu tego, że dana zmienna losowa X przyjmuje wartość nie większą od t, tzn.: (t) = P{XDystrybuanta występuje w dziedzinie matematyki nazywanej statystyką. Dziś poznamy bliżej jak obliczać dystrybuantę i rysować jej wykres.
W jakich sytuacjach pojawia się dystrybuanta? Często idąc na zakupy możemy zastanawiać się jaka jest szansa, że wydamy mniej niż 100 zł. W matematycznym podejściu jest to inaczej prawdopodobieństwo wydania kwoty mniejszej niż 100 zł, czyli dystrybuanta. Inaczej mówiąc jest to prawdopodobieństwo, że zajdzie zdarzenie nie większe od ustalonej wartości (w powyższym przykładzie od 100 zł).

Przedstawię teraz własności dystrybuanty, które są konieczne do poprawnego rozwiązywania zadań.
Dystrybuanta przyjmuje wartości z przedziału <0;1>. Wynika to z faktu, że prawdopodobieństwo może przyjmować najmniejszą wartość 0 (wtedy zdarzenie na pewno nie zajdzie) i największą wartość 1 (zdarzenie zajdzie na 100%).
Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą.
Jest to również funkcja prawostronnie ciągła.

Wyjaśnimy sobie również pojęcie „zmienna losowa”. Zmienna losowa jest to dowolna mierzalna funkcja X, która przypisuje zdarzeniom elementarnym liczby.
Przejdźmy teraz do zadań aby uporządkować wiedzę i doprecyzować niektóre własności.
Zadanie 1
Gracz rzuca symetryczna kostką do gry . Jeśli wyrzuci „piątkę”, wygrywa 10 zł. Jeśli wyrzuci liczbę podzielną przez 3, wygrywa 5 zł. W pozostałych przypadkach płaci 1 zł. Niech X oznacza wygraną gracza (przy czym przegrana 1 zł to inaczej wygrana -1 zł). Naszym zadaniem jest znaleźć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej X.

Na początku przypomnijmy sobie, że symetryczna kostka do gry ma 6 ścian na której znajdują się cyfry od 1 do 6.

Gdy gracz wyrzuca „piątkę” wygrywa 10 zł, więc dystrybuanta wynosi: P(X =10) = 1/6. Inaczej mówiąc: prawdopodobieństwo wygrania 10 zł (dlatego X=10) wynosi 1/6 ponieważ ściana z numerem 5 jest tylko jedna a wszystkich jest 6.
Analogicznie, gdy gracz wyrzuca liczbę podzielną przez 3, czyli „trójkę” albo „szóstkę” wygrywa 5 zł, więc dystrybuanta wynosi P(X =5) = 2/6
Gdy mamy przedstawić przedstawić pozostałe przypadki w tym zadaniu, działamy w następujący sposób:
P(X = −1) = 1 − 1/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2
Z powyższych obliczeń możemy ułożyć następującą funkcję:
0 dla x -1
F(x) = P(X < x) = 1/2 dla -1 x 5
1/2 + 1/3 = 5/6 dla 5< x 10
1 dla x > 10
Z powyższej funkcji możemy już narysować wykres dystrybuanty,
Na osi poziomej zaznaczamy x, czyli w naszym zadaniu możliwe kwoty wygranej a na osi pionowej wartości dystrybuanty. Ważne jest że wykres dystrybuanty składa się z poziomych odcinków, uwzględniające domknięcia i niedomknięcia.

Przejdźmy do kolejnego zadania.
Zadanie 2
Do danych przedstawionej w tabelce znajdź dystrybuantę i narysuj jej wykres.

Liczymy zatem dystrybuanty:
dla 0 < x 1, F(x) = P(X=0) = p1 = 1/8, (uwzględniamy tu tylko wartość zmiennej losowej, która jest równa 0),
dla 1 < x 2, F(x) = P(X=0)+ P(X=1) = p1 + p2 = 4/8 ( tu uwzględniamy wartość zmiennej losowej równą 1 jak i równą 0),
dla 2 < x 3, F(x) = P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2) = p1 + p2 + p3 = 7/8 (uwzględniamy wartość zmiennej losowej równą 2, 1 i 0),
dla x > 3, F(x) = P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2) + P(X=2) = p1 + p2 + p3 +p4 = 1 (uwzględniamy wszystkie wartości).
Podsumowując, dystrybuanta ma postać:

Możemy więc narysować wykres:

Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Gracz rzuca symetryczna kostką do gry . Jeśli wyrzuci „trójkę”, wygrywa 14 zł. Jeśli wyrzuci liczbę podzielną przez 2, wygrywa 7 zł. W pozostałych przypadkach płaci 2 zł. Niech X oznacza wygraną gracza (przy czym przegrana 2 zł to inaczej wygrana -2 zł). Naszym zadaniem jest znaleźć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej X.
Właściciel wyciągu narciarskiego zarabia dziennie średnio 1000zł (jeżeli nie ma awarii). Z obserwacji wiadomo, że 20% dni to takie w których wyciąg zepsuje się raz, 15% dni ma 2 awarie wyciągu, 10% dni ma 3 awarie natomiast w pozostałej części wyciąg działa bezawaryjnie. Koszt usunięcia awarii wynosi 300zł. Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej będącej zyskiem w losowo wybranym dniu i narysować jej wykres.