Kąty naprzemianległe

Kąt jest takim obszarem, który zawsze powstaje pomiędzy parą półprostych (ramiona kąta), które mają wspólny początek, który jest wierzchołkiem.

Wyróżnia się kilka rodzajów kątów:
pełny 360°
półpełny 180°
prosty 90°
ostry mniej niż 90°
rozwarty więcej niż 90° i mniej niż 180°
wklęsły więcej niż 180° mniej niż 360­°
wypukły mniej lub równo 180°

Rodzaje kątów:
przyległe – dwa kąty wypukłe o wspólnym ramieniu – ich suma to 180°
wierzchołkowe – para kątów o wspólnym wierzchołku o tej samej mierze
odpowiadające – dwa kąty położone na dwóch prostych przeciętych trzecią prostą – leżą po tej samej stronie trzeciej proste
naprzemianległe – para kątów leżących na dwóch prostych przeciętych trzecią prostą – położone są po różnych stronach trzeciej prostej.

Skupmy się na kątach naprzemianległych. Są one dwoma kątami, które zostały utworzone poprzez przecięcie dwóch prostych oraz przez trzecią prostą . Oczywiście oznaczenia literowe prostych są dowolne. Są dwa przypadki kątów naprzemianległych. Pierwszy: dwie proste oraz są równoległe – wtedy kąty naprzemianległe mają taką samą miarę. Drugi: te same dwie proste nie są równoległe – kąty te mają różne miary. Ta trzecia prosta przecinająca pozostałe dwie jest sieczną. Wyróżnia się kąty naprzemianległe zewnętrzne oraz wewnętrzne. W zależności z której strony jednej z dwóch prostych oraz leżą te kąty, tak będą one definiowane. Jeżeli będą one leżeć zewnątrz obu prostych, to są to kąty naprzemianległe zewnętrzne, natomiast jeśli są wewnątrz obu prostych, to są to kąty naprzemianległe wewnętrzne. A wygląda to tak:

Na powyższym rysunku kąty są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi, natomiast kąty są kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.

Zadania:
1 . Oblicz miarę kąta wiedząc, że kąt ma miarę 32°. Skorzystaj z pomocniczego rysunku (pamiętaj, że miary kątów na rysunku nie odpowiadają miarom kątów podanych w zadaniu).

Z własności kątów wiemy, że suma dwóch kątów oraz dwóch kątów wynosi 360°. Dlatego należy na początku obliczyć miarę kątów wierzchołkowych, jeden o mierze :

Teraz, aby obliczyć miarę kąta , należy odjąć od 360°, czyli kąta pełnego, 64°, czyli sumę miar dwóch kątów wierzchołkowych:

Aby poznać miarę kąta , trzeba wynik 296° podzielić na dwa, gdyż 296° to suma dwóch kątów wierzchołkowych :

Zatem kąt ma miarę 148°. Sprawdźmy, czy dobrze obliczyliśmy:

Odpowiedź: Miara kąta wynosi 296°.

2 . Oblicz miarę kąta zaznaczonego na pomocniczym rysunku.

Oznaczmy kąt o mierze 100°:

Zaznaczmy po kolei wszystkie kąty wierzchołkowe, odpowiadające oraz naprzemianległe:

Kąty naprzemianległe zaznaczone są tymi samymi kolorami – osobno dla prostej k oraz dla prostej l. Teraz mamy sytuację podobną do tej z poprzedniego zadania. Można obliczyć miarę kąta tak jak w poprzednim zadaniu, lecz można ją obliczyć również w inny sposób. Mianowicie można obliczyć miarę kąta korzystając z własności kątów przyległych:


Sprawdźmy:

Odpowiedź: Kąt ma miarę 80°.

3 . Oblicz miarę kąta zaznaczonego na pomocniczym rysunku. Figura poniżej to romb. Zastosuj własność naprzemianległych kątów.

Wiemy, że na przedstawionym rysunku widnieje romb. Jest wiele metod, aby obliczyć miarę kąta . Natomiast zgodnie z poleceniem, obliczymy jego miarę znajdując kąty naprzemianległe. Mamy podaną miarę jednego kąta wewnętrznego rombu – 120°. Narysowana przekątna dzieli romb na dwa przystające trójkąty. Te trójkąty są równoramienne – podstawą jest przekątna rombu, a ramionami trójkąta – dwa boki rombu, które są tej samej długości. Suma kątów w każdym trójkącie to 180°, zatem kąt przy podstawie tego trójkąta ma miarę: . Zaznaczmy ten kąt ma rysunku:

Po przedłużeniu odpowiednich boków oraz przekątnej można zauważyć kąty odpowiadające:

Można zauważyć, że miara kąta ostrego alfa jest równa mierze 30 stopni. Dzięki przedłużeniu przekątnej rombu mogliśmy bez problemu odczytać tą miarę – czyli 30 stopni.

Odpowiedź: Kąt ma miarę 30°.