Algebra liniowa

Algebra liniowa

Algebra liniowa jest działem algebry zajmującym się przestrzeniami liniowymi skończonego wymiaru.

Teorie które są zawarte w algebrze liniowej:
formy kwadratowe,
macierze,
homomorfizmy (przekształcenia liniowe) między przestrzeniami liniowymi,
przekształcenia dwuliniowe,
przekształcenia antyliniowe,
przekształcenia półtoraliniowe,
przekształcenia wieloliniowe.

Formy kwadratowe
to wielomiany jednorodne II stopnia zmiennych określony na przestrzeni liniowej – gdzie zmienne występują najwyżej w drugiej potędze.
Ogólna postać formy kwadratowej:

gdzie:
~aij– stałe współczynniki liczbowe- zespolone, rzeczywiste, całkowite lub wymierne,
~xi, xj, i, j=1, …, n- zmienne, współrzędne dowolnego wektora danej przestrzeni liniowej , ,

Macierz
to układ liczb, wyrażeń lub symboli zapisanych w postaci prostokątnej tablicy.

Homomorfizmy
to funkcje, odwzorowujące jedną algebrę ogólną w drugą, a przy tym zachowujące odpowiadające sobie działania, jakie są zdefiniowane w obu algebrach.

Rodzaje homomorfizmów:
monomorfizm,
epimorfizm,
izomorfizm,
endomorfizm,
automorfizm.

Relacje zbiorów morfizmów.
f – zbiór funkcji; H – zbiór homomorfizmów; M – zbiór monomorfizmów; Ep – zbiór epimorfizmów; Iz – zbiór izomorfizmów; End – zbiór endomorfizmów; A – zbiór automorfizmów

Przekształcenie dwuliniowe
to funkcja pochodząca z iloczynu kartezjańskiego dwóch ustalonych przestrzeni liniowych w pewną przestrzeń liniową, jest liniowa względem obu zmiennych.

Przekształcenia antyliniowe
to rodzaj przekształcenia pomiędzy zespolonymi przestrzeniami liniowymi.

Przekształcenia wieloliniowe
to funkcja, która jest określona na iloczynie kartezjańskim przestrzeni liniowych w daną przestrzeń liniową, która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna. Jeżeli docelową przestrzeń liniową zastąpimy ciałem, nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny, to tego rodzaju funkcje nazywamy formami wieloliniowymi.

Źródła:
Wikipedia