Algorytm gaussa

1. Do czego stosujemy algorytm Gaussa?

Algorytm Gaussa to jedna z metod rozwiązywania układów równań z trzema niewiadomymi. Inaczej zwana jest metodą eliminacji Gaussa. Najprościej tłumacząc, polega ona na przedstawieniu współczynników w postaci tablicy zwanej macierzą i kolejnym eliminowaniu niewiadomych, aż do wyliczenia jednej z nich.

2. Jak stosować algorytm Gaussa?

Jego działanie najłatwiej będzie wytłumaczyć na konkretnym przykładzie.

Mamy więc do rozwiązania poniższy układ równań:

{
{
{

Teraz stwórzmy macierz, czyli przepiszmy układ, pomijając niewiadome. Zamiast znaku równości, stawiamy pionową kreskę.

[ | ]
[ | ]
[ | ]

Zaczynamy od pozbycia się pierwszej niewiadomej, w tym przypadku , z drugiego i trzeciego równania. Aby to zrobić, pomnożone obustronnie przez -2 pierwsze równania dodajemy do drugiego, natomiast pomnożone przez -1 drugie – do trzeciego.

Pierwsze równanie pomnożone przez -2: [ | ]
+
Drugie równanie przed dodaniem pierwszego: [ | ]
=
Drugie równanie po dodaniu pierwszego: [ | ]

Drugie równianie pomnożone przez -1: [ | ]
+
Trzecie równanie przed dodaniem drugiego: [ | ]
=
Trzecie równanie po dodaniu drugiego: [ | ]

Po tych działaniach nasza macierz powinna wyglądać tak:

[ | ]
[ | ]
[ | ]

Teraz musimy wyeliminować drugą niewiadomą () z trzeciego równania. W tym celu dodajmy do niego drugie równanie pomnożone obustronnie przez -5.

Drugie równanie pomnożone przez -5: [ | ]
+
Trzecie równanie przez dodaniem drugiego: [ | ]
=
Trzecie równanie po dodaniu trzeciego: [ | ]

Przywróciwszy niewiadome, trzecie równanie możemy już z łatwością rozwiązać, dzieląc obustronnie przez .

/


Skoro mamy już wyliczone , podstawmy je pod drugie równanie, by wyliczyć :

Teraz podstawmy obie niewiadome do pierwszego równania:

A więc rozwiązaniem równania są: , i .

Tak prezentuje się metoda eliminacji Gaussa. Nie należy ona do najłatwiejszych, ale na pewno skutecznych metod rozwiązywania układów równań z trzema niewiadomymi.