Opracowanie:
Alternatywa

Alternatywa

Zweryfikowane

Alternatywa to zagadnienie związane z działem matematyki nazywanym logiką. Obracając się w tym dziale posługujemy się zdaniami. One zaś mogą być prawdziwe lub fałszywe w sensie logiki. Dlatego też nie każde zdanie w języku potocznym będzie zdaniem w sensie logiki.
Na początku zadajmy sobie pytanie, czym tak właściwie jest prawda oraz fałsz oraz jak je określamy w logice. W tym dziale matematyki wartość logiczną 1 zyskuje każde zdanie prawdziwe. Oznaczając prawdziwe zdanie możemy użyć arabskiej cyfry 1. Rzadko kiedy używa się oznaczenia za pomocą litery P (z języka polskiego p jak prawda), bądź litery T ( z angielskiego t jak true). Fałsz natomiast jest określany przez wartość logiczną 0, literę F (f jak fałsz oraz f z angielskiego jak false). Mimo to najbardziej powszechne stosowanie jest oznaczeń 0 i 1. Każde zdanie oznajmujące, któremu można nadać wartość logiczną prawda (1), fausz (0) jest zdaniem logicznym. Aby zobaczyć na własne oczy różnice między zdaniami logicznymi prawdziwymi, fałszywymi oraz formami zdaniowymi warto przeanalizować poniższe przykłady.
7+12=3 (0) —> jest to zdanie logiczne, które przyjmuje wartość logiczną 0
7+12=19 (1) —> jest to zdanie logiczne, które przyjmuje wartość logiczną 1
W 1911 roku wybuchła I Wojna Światowa (0) —> jest to zdanie logiczne, które przyjmuje wartość logiczną 0
Zebry są biało-czarne (1) —> jest to zdanie logiczne, które przyjmuje wartość logiczną 1
2+x=7 —> to jest forma zdaniowa, to jest wyrażenie, które nie jest zdanie logiczne
Idź stąd! —> to jest forma zdaniowa, to jest wyrażenie, które nie jest zdanie logiczne
Masz psa? —> to jest forma zdaniowa, to jest wyrażenie, które nie jest zdanie logiczne
Przykłady 1-4 to zdania logiczne pojedyncze. Z ich połączenia mogą powstać zdania złożone logicznie. Tak jak w języku polskim, zdania pojedyncze możemy łączyć za pomocą spójników, np. i, oraz, albo, lub, ale. Przykładami takich zdań mogą być: „Pójdę spać lub oglądać telewizję.”, „Posprzątam pokój, ale nie umyje naczyń.”, „Zajmę się siostrą i pójdę na zakupy.”. W logice matematycznej również używamy spójników. One natomiast nazywają się funktorami logicznymi lub też spójnikami logicznymi.
W swoim wypracowaniu chciałabym przybliżyć Wam pewien rodzaj zdań złożonych logicznie. Poniżej chciałabym wytłumaczyć sposób działania alternatywy oraz alternatywy rozłącznej.
Na początku zajmiemy się alternatywą. Najprościej mówiąc, są to dwa zdania logiczne pojedyncze połączone spójnikiem lub. Ten spójnik w matematyce określamy tym symbolem: . Alternatywę zdań natomiast zapisujemy w tej postaci p q . Litery p oraz q oznaczają zdania składowe, np. p: „Na śniadanie zjadłam bułkę z serem.”, q: „Na śniadanie zjadłam bułkę z szynką”. Tak więc tworząc zdanie: „Na śniadanie zjadłam bułkę z serem lub bułkę z szynką.” możemy zauważyć 4 możliwości.
Mogłam zjeść bułkę z serem (1) i bułkę z szynką (1) ( pierwszy wiersz tabelki)
Mogłam zjeść bułkę z serem (1), ale nie zjeść bułki z szynką(0) ( drugi wiersz tabelki)
Mogłam nie zjeść bułki z serem(0), ale zjeść bułkę z szynką (1) (trzeci wiersz tabelki)
Mogłam nie zjeść bułki z serem (0) i z szynką (0).

p q

Alternatywą zdań p q nazywamy zdanie złożone, w którym zdania składowe są połączone spójnikiem logicznym lub. Wnioskiem po analizie powyższego przykładu jest stwierdzenie, że alternatywa jest prawdziwa, gdy przynajmniej jedno zdanie składowe jest prawdziwe. W przypadku gdy wszystkie zdania składowe są fałszywe, alternatywa jest fałszywa.
Kolejnym przykładem przykładem alternatywy jest sytuacja, w której zdaniami składowymi są działania. Przeanalizujmy poniższe przykłady.
„Liczba 5 jest nieparzysta lub liczba 10 jest parzysta.” Rozpoznajmy, że p: „liczba 5 jest nieparzysta” (1), oraz że „liczba 10 jest parzysta”(1). Skoro oby dwie składowe są prawdziwe, szukamy takiego wiersza, w którym p i q przyjmuje wartość logiczną 1. Jest to pierwszy wiersz. Z tego wynika, że całe te złożone zdanie jest zdaniem złożonym logicznie prawdziwym.
„Liczba 6 jest liczbą parzystą lub liczba 5 jest większa od liczby 34.” Zauważamy, że p: „Liczba 6 jest liczbą parzystą” (1) oraz q: „liczba 5 jest większa od liczby 34.” (0). Aby określić wartość logiczną tego całego zdania szukamy takiego wiersza, w którym p przyjmuje wartość logiczną 1, a q 0. Jest to drugi wiersz. Z tego wynika, że całe te złożone zdanie jest zdaniem złożonym logicznie prawdziwym. Gdyż jak wynika z definicji, wystarczy by jedna składowa alternatywy była prawdziwa, by całe zdanie przyjęło wartość logiczną 1.
„Liczba 7 jest liczbą parzystą lub liczba 17 jest liczbą pierwszą.” Rozpoznajemy, że zdanie składowe p jest fałszywe, więc przyjmuje wartość logiczną 0. Zdanie składowe q jest prawdziwe, więc przyjmuje wartość logiczną 1. Z tego prostego rachunku, bądź też z tabelki wynika, że ta alternatywa jest logicznie prawdziwa.
„Liczba 9 jest ujemna lub liczba 9 jest podzielna przez 5.” Oby dwie składowe p i q są fałszywe, przyjmują wartość logiczną (0). Oznacza to, że te zdanie złożone jest fałszywe – ostatni wiersz tabelki powyżej.
Powyżej opisana alternatywa jest też nazywana przez logików i matematyków alternatywą łączną. Alternatywa rozłączna zachodzi zaś, gdy używamy spójnika logicznego albo. Poniższa tabelka obrazuje zależności między wartością logiczną zdań składowych, a wartością logiczną zdania złożonego.

p ⊥ q

Alternatywa rozłączna jest to zdanie wskazujące na to, że aby całe zdanie było prawdziwe jedynie jedna składowa może być prawdziwa, np. „Warszawa jest stolicą Polski, albo Warszawa leży nad Dunajem.” (drugi wiersz tabelki). W związku z tym, że alternatywa rozłączna mówi nam, że może być prawdziwy tylko jeden z dwóch członów, zdanie „Warszawa jest stolicą Polski, albo Warszawa leży nad Wisłą.” logicznie jest nieprawdziwe, gdyż obie składowe są fałszywe. Mimo to, zdanie te z punktu widzenia języka polskiego i geografii jest prawdziwe.
Mam nadzieję, że ten artykuł pomógł wam zrozumieć różnice między dwoma rodzajami alternatyw. : )

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela

Opracowanie: Alternatywa

Alternatywa

Opracowanie:
Alternatywa