Analiza funkcjonalna

Analiza funkcjonalna jest działem analizy matematycznej. Zajmuje się między innymi badaniem własności przestrzeni funkcyjnych. Funkcjonał oznacza funkcję, której argument to funkcja, natomiast wartość to liczba. Te słowo pochodzi z rachunku wariancyjnego. W analizie funkcjonalnej bada się ogólne operatory. Ich argumenty oraz wartości są wektorami. Inaczej mówiąc, wartość nie musi być liczbą.

Analiza funkcjonalna bada przestrzenie Frécheta oraz inne przestrzenie liniowo-topologiczne. Podstawowe przestrzenie w tej analizie to unormowane zupełne przestrzenie liniowe nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Opisane przestrzenie są przestrzeniami Banacha. Przestrzenie Hilberta są przykładem przestrzeni Banacha. W nim norma pochodzi od iloczynu skalarnego. Przestrzenie Hilberta są bardzo ważne w mechanice kwantowej.

Obiektem badań analizy funkcjonalnej są ciągłe przekształcenia liniowe, inaczej funkcjonały. Znajdują się one na przestrzeniach Banacha oraz Hilberta. Badania prowadzone nad własnościami przestrzeni danych funkcjonałów doprowadziły do poznania C*-algebr oraz innych algebr operatorów.

Jest trochę wyników z dziedziny analizy funkcjonalnej. Oto kilka najważniejszych z nich:
1 . Twierdzenie Banacha-Steinhausa opiera się na ograniczonych zbiorów operatorów.
2 . Twierdzenie spektralne podaje na przestrzeni Hilberta reprezentację operatorów samosprzężonych przy pomocy całki względem specjalnych miar spektralnych. Jest bardzo ważne w mechanice kwantowej.
3 . Twierdzenie Hahna-Banacha informuje o rozszerzaniu funkcjonałów z podprzestrzeni na całą przestrzeń. Należy pamiętać o zachowaniu normy. jednym z najważniejszych wniosków jest nie trywialność przestrzeni dualnych.