Opracowanie:
Analiza harmoniczna

Analiza harmoniczna

Zweryfikowane

Mówiąc o analizie harmonicznej można usłyszeć też inną nazwę – analizę fourierowską. Ta analiza jest działem matematyki, który zajmuje się teorią oraz zastosowaniem szeregu Fouriera (czyli szeregu, który pozwala rozłożyć funkcję okresową, która spełnia warunki Dirichleta na sumę funkcji trygonometrycznych) oraz transformaty Fouriera (czyli taki operator liniowy, który określany jest na danych przestrzeniach funkcyjnych, elementami, których mogą być funkcje zmiennych rzeczywistych). Analiza harmoniczna tworzy model, który stanowi sumę składowych harmonicznych, inaczej harmonik, czyli funkcję wyrażaną wzorem: {displaystyle u(t)=Asin(omega t+varphi ),} gdzie A to amplituda, omega to prędkość kątowa, inaczej pulsacja oraz varphi to faza początkowa. Są to funkcje sinusoidalne oraz cosinusoidalne w danym przedziale czasowym. Taki model wyraża się wzorem:

W którym {displaystyle alpha _{0},alpha _{1},beta _{1}} to parametry modelu. Natomiast kiedy tendencja rozwojowa, czyli trend występuje w szeregu czasowym, to model ten wyrażany jest wzorem:

w którym parametry tego modelu mają następujące wartości:
{displaystyle a_{0}={frac {1}{n}}cdot sum _{t=1}^{n}yt,}
{displaystyle a_{i}={frac {2}{n}}cdot sum _{t=1}^{n}ytcdot sin left({frac {2cdot pi }{n}}cdot icdot tright)quad {}}dla {displaystyle i=1,2,dots ,{frac {n}{2}}-1,}
{displaystyle b_{i}={frac {2}{n}}cdot sum _{t=1}^{n}ytcdot sin left({frac {2cdot pi }{n}}cdot icdot tright)quad {}}dla {displaystyle i=1,2,dots ,{frac {n}{2}}-1.}
Ważne, aby zawsze wiedzieć, że dla ostatniej składowej harmonicznej zachodzi:
{displaystyle a_{frac {n}{2}}=0,}
{displaystyle b_{frac {n}{2}}={frac {1}{n}}cdot sum _{i=1}^{n}ytcdot cos(pi cdot t)}.

Wykres funkcji rzeczywistej oraz jej transformaty Fouriera prezentuje się następująco:

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
To top